7. Билет 7

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ (ОТОБРАЖЕНИЯ).

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вещественная переменная — это величина, которая может принимать произвольные числовые значения.

Пусть Х принадлежит R, т. е. Х — числовое множество. И пусть определено правило f, которое любому х из Х ставит в соответствие число f(x) из R. Тогда говорят, что на множестве Х определена вещественная функция вещественной переменной х (вещественного аргумента х). Множество Х — множество задания (определения) функции y=f(x). Множество {f(x)} — множество значений f (или образ множества Х при отображении f).

Правило отображения f может быть определено :

1. аналитически явно

задано Х и f

Пример : y=[x]

2. аналитически неявно

величины x и f(x) связаны между собой аналитическим выражением

3. таблично

4. графически

Числовая последовательность

Пусть Х={1,2,3 … n …} = N

И пусть задано правило f, которое каждому f(n) ставит в соответствие a_n. При этом an единственное. Тогда мы получаем числовую последовательность {a_n}^∞_n=1 То есть мы получаем последовательность чисел, пронумерованную в порядке возрастания номеров. Теперь Х — множество номеров (индексов). Начинать нумерацию можно с любого числа p. В том числе с номера (-p). Тогда {a_n}^∞_-p. Величина an называется общим членом последовательности {a_n}. Общие члены последовательностей можно задавать 1) формулой {aqⁿ}^∞_n=1 2) рекурентно a_n=F(a_n-1) 3) существуют последовательности, которые так задать нельзя (например, последовательность простых чисел)

{a_n}^∞_n=1 называется строго возрастающей, если для любого n : a_n+1>a_n

если a_n+1 >= a_n, то возрастающей (неубывающей)

{a_n}^∞_n=1 называется строго убывающей, если для любого n : a_n+1<a_n

если a_n+1 <= a_n, то убывающей (невозрастающей)

8. Билет 8

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,

ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ.

ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

Предел числовой последовательности

Число g из R называется пределом числовой последовательности {a_n}, если для любого ε>0 (ε из R) существует номер k (k из N) такой, что для любых номеров n>k выполняется неравенство :

|a_n-g| <= ε

равносильно : g-ε < a_n < g+ε

Из определения следует, что для того, чтобы установить, что g – предел, мы должны уметь найти для любого заданного ε > 0 номер k.

Пример

{(n+1)/n}^∞_n=1

Докажем, что предел равен 1.

Решение:

При любом ε > 0 номер k такой, что при любом n > k :

|(n+1)/n – 1| < ε

1/n < ε

Следовательно, k=[1/n]+1

Последовательности могут иметь предел, а могут и не иметь.

Из определения следует, что каждому положительному ε отвечает свой номер k. То есть k зависит от ε, то есть k=k(ε). Поэтому можно ввести ещё одно эквивалентное определение.

Число g из R называется пределом числовой последовательности a_n, если неравенство |a_n-g| <= ε выполняется для достаточно больших номеров n.

Число g из R называется пределом числовой последовательности a_n, если для любого ε>0 значения an попадают в интервал (g – ε, g + ε), начиная с некоторого номера.

Теорема 1

Если {an} имеет предел, то он единственный.

Доказательство:

Пусть существует два предела g и g1.

Пусть ε = |g-g1|/2 > 0. Тогда для этого ε :

существует номер k такой, что для любого n>k выполняется |a_n-g| < ε

существует номер k1 такой, что для любого n>k1 выполняется |a_n-g1| < ε

Пусть m = max (k, k1). Тогда при любом n > m одновременно выполняются :

|a_n-g| < ε и |a_n-g1| < ε

2ε = |g – g1| < |g-a_n| + |a_n – g1| < 2ε

получено противоречие → g=g1 → предел единственен

Ограниченная последовательность

Последовательность an называется ограниченной, если существует число М из R такое, что при любом n из N выполняется |a_n|<M

Теорема 2

Если {a_n} сходится (то есть имеет предел), то тогда она ограниченная.

Доказательство:

Пусть {a_n} сходится, тогда для любого ε > 0 существует номер k такой, что для любого n > k выполняется :

|a_n – g| < ε, то есть lim a_n = g при n → ∞

Пусть ε=1, тогда для любого n > k мы можем написать : |a_n – g| < 1

Выполняется следующее : g-1 < a_n < g+1

Пусть m = min {g-1, a₁, a₂ … a_k} (это те члены последовательности, для которых неравенство не выполняется)

M = max {g+1, a₁, a₂ … a_k}

→ m < a_n < M для любого n