2.4. Коэффициент теплопроводности

Как было сказано, коэффициент теплопроводности является фи- зическим параметром вещества. В общем случае коэффициент тепло- проводности зависит от температуры, давления и состояния вещества. В большинстве случаев коэффициент теплопроводности для различных материалов определяется опытным путем. Известен ряд методов экспе- риментального определения коэффициента теплопроводности [3, 4]. Большинство из них основано на измерении теплового потока и гради- ента температур в заданном веществе. Коэффициент теплопроводности при этом определяется из соотношения

_{ } ^q

^{grad t}

, [Вт/мК]. (2.11)

Из уравнения (2.11) следует, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству тепла, которое проходит в единицу времени через единицу изотермической поверхности при температурном гради- енте, равном единице.

Так как тела могут иметь различную температуру, а при наличии теплообмена и в самом теле температура будет распределена неравно-

мерно, то в первую очередь важно знать зависимость коэффициента те- плопроводности от температуры. Опыты показывают, что для многих материалов с достаточной для практики точностью зависимость коэф- фициента теплопроводности от температуры можно принять линейной:

^{  }₀ ^_^{1  b} ^{t  t}₀ ^_ ^{, (2.12)}

где λ₀ – значение коэффициента теплопроводности при температуре t₀;

b – постоянная, определяемая опытным путем.

2 . 4 . 1 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь г а з о в

Согласно кинетической теории вещества перенос тепла теплопро- водностью в газах при обычных давлениях и температурах определяется переносом кинетической энергии молекулярного движения в результате хаотического движения и столкновения отдельных молекул газа. При этом коэффициент теплопроводности определяется соотношением

  1/ 3wlc_v  , (2.13)

где w – средняя скорость перемещения молекул газа; l – средняя длина свободного пробега молекул газа между их соударениями; с_v – теплоем- кость газа при постоянном объеме;  – плотность газа.

_{С увеличением давления в равной мере увеличивается  и умень-}

_{шается l , а произведение l  }

_{сохраняется постоянным. Поэтому коэф-}

фициент теплопроводности мало изменяется в зависимости от давления.

_{Средняя скорость перемещения молекул газа зависит от темпера-}

туры:

_{w } ^3RT _,



где R_ – универсальная газовая постоянная, равная 8314,2 Дж/(Кмоль);

 – молекулярная масса газа; Т – температура, К.

Теплоемкость газов возрастает с повышением температуры. Ска- занным объясняется тот факт, что коэффициент теплопроводности для

газов с повышением температуры возрастает.

Коэффициент теплопроводности газов лежит в пределах значений от 0.006 до 0.6 Вт/(мК).

Среди газов своим высоким коэффициентом теплопроводности резко выделяются гелий и водород. Коэффициент теплопроводности у них в (5  10) раз больше, чем у других газов [5]. Молекулы гелия и во-

дорода обладают малой массой, а следовательно, имеют большую сред- нюю скорость перемещения при одинаковом значении температуры, чем и объясняется их высокий коэффициент теплопроводности.

Коэффициенты теплопроводности водяного пара и других реаль- ных газов, существенно отличающихся от идеальных, сильно зависят также от давления.

Для газовых смесей коэффициент теплопроводности не может быть определен по закону аддитивности, его нужно определять опыт- ным путем.

2 . 4 . 2 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь ж и д к о с т е й

Механизм распространения тепла в капельных жидкостях можно представить как перенос энергии путем нестройных упругих колебаний. Такое теоретическое представление о механизме передачи тепла в жид- костях, выдвинутое А.С. Предводителевым, было использовано Н.Б. Варгафтиком для описания опытных данных по теплопроводности различных жидкостей. Для большинства жидкостей теория нашла хо- рошее подтверждение.

На основании этой теории была получена формула для коэффици- ента теплопроводности, имеющая следующий вид:

_{c }

_{  A} ^p

4 / 3

_{, (2.14)}

^{1 / 3}

где с_р – теплоемкость жидкости при постоянном давлении;  – плот- ность жидкости;  – молекулярная масса.

Коэффициент А, пропорциональный скорости распространения

упругих волн в жидкости, не зависит от природы жидкости, но зависит от температуры; при этом произведение Ас_р = const.

Так как плотность жидкости с повышением температуры убывает,

то из уравнения (2.14) следует, что для жидкостей с постоянной моле- кулярной массой с повышением температуры коэффициент теплопро- водности должен уменьшаться.

Опыты показали, что для большинства жидкостей с повышением температуры коэффициент теплопроводности  убывает, исключение составляют вода и глицерин. Коэффициент теплопроводности капель-

ных жидкостей находится примерно в пределах от 0.07 до 0.7 Вт/(мК).

При повышении давления коэффициенты теплопроводности жид- костей возрастают.

2 . 4 . 3 . Т е п л о п р о в о д н о с т ь т в е р д ы х т е л

В металлах основным передатчиком тепла являются свободные электроны, которые можно уподобить идеальному одноатомному газу. Передача тепла при помощи колебательных движений атомов или в ви- де упругих звуковых волн не исключается, но ее доля незначительна по сравнению с переносом энергии электронным газом. Вследствие движе- ния свободных электронов происходит выравнивание температуры во всех точках нагревающегося или охлаждающегося металла. Свободные электроны движутся как из областей, более нагретых, в области, менее нагретые, так и в обратном направлении. В первом случае они отдают энергию атомам, во втором отбирают. Так как в металлах носителями тепловой и электрической энергии являются электроны, то коэффици- енты теплопроводности и электропроводности пропорциональны друг другу. При повышении температуры вследствие усиления колебатель- ных движений атомов рассеивание электронов на них увеличивается. Это влечет за собой уменьшение коэффициентов тепло- и электропро- водности чистых металлов.

При наличии разного рода примесей коэффициент теплопровод- ности металлов резко убывает. Это можно объяснить увеличением

структурных неоднородностей, которые приводят к рассеиванию элек- тронов. Так, например, для чистой меди  = 396 Вт/(мК), а для меди со следами мышьяка  = 142 Вт/(мК).

В отличие от чистых металлов коэффициенты теплопроводности сплавов при повышении температуры увеличиваются.

Твердые тела – диэлектрики (неметаллы).

В диэлектриках с повышением температуры коэффициент тепло- проводности обычно увеличивается. Как правило, для материалов с

большей объемной плотностью коэффициент теплопроводности имеет более высокое значение. Он зависит также от структуры материала, его пористости и влажности.

Многие строительные и теплоизоляционные материалы имеют пористое строение (кирпич, бетон, асбест, шлак и др.), и применение за- кона Фурье к таким телам является в известной мере условным. Нали- чие пор в материале не позволяет рассматривать такие тела как сплош-

ную среду.

Условной является также величина коэффициента теплопровод- ности пористого материала. Эта величина имеет смысл коэффициента теплопроводности некоторого однородного тела, через которое при одинаковых форме, размерах и температурах на границах проходит то же количество тепла, что и через данное пористое тело [6].

Коэффициент теплопроводности порошкообразных и пористых тел сильно зависит от их объемной плотности. Например, при возраста- нии  от 400 до 800 кг/м³ коэффициент теплопроводности асбеста уве- личивается от 0.105 до 0.248 Вт/(мК). Такое влияние  на коэффициент теплопроводности объясняется тем, что  заполняющего поры воздуха значительно меньше, чем  твердых компонентов пористого материала.

Эффективный коэффициент теплопроводности пористых мате- риалов сильно зависит также от влажности. Для влажного материала ко- эффициент теплопроводности значительно больше, чем для сухого ма- териала и воды в отдельности. Например, для сухого кирпича

 = 0.35 Вт/(мК), для воды  = 0.6 Вт/(мК), а для влажного кирпича

 = 1.0 Вт/(мК). Этот эффект может быть объяснен конвективным пе- реносом тепла, возникающим благодаря капиллярному движению воды

внутри пористого материала, и частично тем, что абсорбционно связан-

ная влага имеет другие характеристики по сравнению со свободной во- дой.

Увеличение коэффициента теплопроводности зернистых материа-

лов с изменением температуры можно объяснить тем, что с повышени- ем температуры возрастает теплопроводность среды, заполняющей промежутки между зернами, а также увеличивается теплопередача из- лучением внутри зернистого массива.

2.5. Теплопроводность при стационарном режиме (q_v = 0)

2 . 5 . 1 . П е р е д а ч а т е п л а ч е р е з п л о с к у ю с т е н к у

_{При установившемся, или стационарном, тепловом режиме тем-}

_{пература тела во времени остается постоянной, т. е. t}

_{ = 0.}

При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

v

²t  q

 0 . (2.15)

Если внутренние источники тепла отсутствуют (q_v = 0), то уравне- ние (2.15) упростится и примет вид:

_{2 2 2}

²t  0

или

 t

_x²

_ ^{ t}

y ²

_ ^{ t}

z ²

 0 . (2.16)

а ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я п е р в о г о р о д а .

_{Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной  с по-}

стоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверх- ностях стенки поддерживаются постоянными температуры t_c1и t_с2.

При заданных условиях температура будет изменяться только в

направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось ох напра- вить, как показано на рис. 2.2, то температура в направлении осей оу и оz будет оставаться постоянной, т. е.

^t _ ^t

^{y z}

 0 .

Рис. 2.2. Однородная плоская стенка

В связи с этим дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде

 ²t

_x²

 0 . (2.17)

Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следую- щим образом:

при x  0 при x  

t  t_c1;_

c 2 _

_{t  t .} ^

(2.18)

Уравнение (2.17) и условия (2.18) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

В результате решения поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т. е. t = f(х), и получена формула для определения количества тепла, проходящего в единицу времени через стенку.

Закон распределения температур по толщине стенки найдется в результате двойного интегрирования уравнения (2.17)

_{Первое интегрирование дает:}

_dt

_dx ^{ C1 . (2.19)}

После второго интегрирования получим:

t  C₁ x  C₂ . (2.20)

Из уравнения (2.20) следует, что при постоянном коэффициенте теплопроводности температура в стенке изменяется по линейному зако- ну.

Постоянные С₁ и С₂ в уравнении (2.20) определяются из гранич- ных условий:

^{при x = 0 t = t}_c1^{, следовательно С}₂ ^{= t}_c1^;

при x =  t = t_c2, следовательно C₁

_{ } ^tc1

^{ tc 2} _.



Подставляя значения постоянных С₁ и С₂ в уравнение (2.20), по- лучаем закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке:

t  t_c1

_ ^{tc1  tc 2} _{x . (2.21)}



Для определения количества тепла, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси ох, восполь- зуемся законом Фурье, согласно которому

_{q  } ^t _.

^x

Учитывая, что

_t

_x ^{ C1}

_{ } ^{tc1  tc 2} _{, после подстановки значения}



t / x

в выражение закона Фурье получаем:

_

_{q  tc1  tc 2  . (2.22)}

^

Из уравнения (2.22) следует, что количество тепла, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропор- ционально коэффициенту теплопроводности  и разности температур на наружных поверхностях стенки и обратно пропорционально толщине

_{стенки . Следует указать, что тепловой поток определяется не абсо-}

лютным значением температур, а их разностью

_{принято называть температурным напором.}

^{t  t}_c1 ^{ t}_{c 2} ^{, которую}

Отношение / называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина / [м²К/Вт] – тепловым или термическим сопро- тивлением стенки. Последнее представляет собой падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока. Зная удельный тепло-

вой поток, легко вычислить общее количество тепла, которое передает- ся через поверхность стенки величиной F за промежуток времени :

Q  qF . (2.23)

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки, со- стоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями со- вершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух сло- ев одинакова.

При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через

любую изотермическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же, т. е.

^q _{ 0 .}

^x

При заданных температурах на внешних поверхностях такой стенки, заданных размерах слоев и соответственно коэффициентах теп- лопроводности можно составить систему уравнений:

c1

_{q } ^1 _t

^₁

_

_

^{ t}_{c 2} ^; _

_

c 2

_{q } ^2 _t

^ ₂

 t_{c 3 }; _



_{.......................} ^

_

_{ n  }

_

^q _^t_cn ^t_{cn1 }^._

^{n }

Определив температурные напоры в каждом слое, сложив левые и правые части уравнений, получим:

_{t  t}

_{  }

_{ q 1  2}

_{ ...   n  .}

_{c1 c ( n1)}

_{    }

_ 1 2 n _

Отсюда плотность теплового потока

_{q } ^t_c1 ^{ t}_{c ( n1)}

_{t  t}

_ ^{c1 c ( n1)} _{. (2.24)}

_{   n }

¹ _ ² _{ ... } ⁿ _ i

^₁ ^₂

_{n }

^_{n i 1} ^_i

_{Величина }

ⁱ _{, равная сумме тепловых сопротивлений всех n}

_{i 1} ^_i

слоев, называется полным тепловым или термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

При рассмотрении переноса тепла через многослойную стенку и стенку из однородного материала удобно ввести в рассмотрение экви- валентный коэффициент теплопроводности _экв многослойной стенки, который равен

_n

^ _i

_{ } ^{i 1}

_{. (2.25)}

_

' экв _n

_ ⁱ

_{i 1} ^_i

Из уравнения (2.25) следует, что эквивалентный коэффициент те- плопроводности зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.

б ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я т р е т ь е г о р о д а ( т е п л о п е р е д а ч а ) .

Передача тепла от одной подвижной среды (жидкости или газа) к другой через разделяющую их однородную или многослойную твердую

стенку любой формы называется теплопередачей. Теплопередача вклю-

чает в себя теплоотдачу от более горячей жидкости к стенке, теплопро- водность в стенке, теплоотдачу от стенки к более холодной подвижной среде.

Рассмотрим теплопередачу через однородную и многослойную

плоские стенки.

Пусть плоская однородная стенка имеет толщину  (рис. 2.3). За- даны коэффициент теплопроводности стенки , температуры окружаю- щей среды t_ж1 и t_ж2, а также коэффициенты теплоотдачи ₁ и ₂; будем считать, что величины t_ж1, t_ж2, ₁ и ₂ постоянны и не меняются вдоль поверхности. Это позволяет рассматривать изменение температуры

жидкостей и стенки только в направлении, перпендикулярном плоско- сти стенки.

При заданных условиях необходимо найти тепловой поток от го- рячей жидкости к холодной и температуры на поверхностях стенки.

Рис. 2.3. Теплопередача через плоскую однородную стенку

Удельный тепловой поток от горячей жидкости к стенке опреде- ляется уравнением

^{q  }₁ ^t_ж1 ^{ t}_с1  ^{. (2.26)}

При стационарном тепловом режиме тот же тепловой поток прой- дет путем теплопроводности через твердую стенку:

_

_{q  tc1  tc 2  . (2.27)}

^

Тот же тепловой поток передается от второй поверхности стенки к холодной жидкости за счет теплоотдачи

^{q  } ₂ ^t_{с 2} ^{ t}_{ж 2}  ^{. (2.28)}

_{Сложив уравнения (2.26)–(2.28) получим, получим:}

_{ 1    1    .}

q _{    }

t_ж1

t_{ж 2}

_Отсюда

 1 2 

_{q } ^t_ж1 ^{ t}_{ж 2}

_{. (2.29)}

¹ _ ^ _ ¹

Введем обозначение:

^₁ ^{ }₂

1

¹ _ ^ _ ¹

 k . (2.30)

^₁ ^{ } ₂

виде:

С учетом (2.30) уравнение (2.29) можно записать в следующем

^{q  k} ^t_ж1 ^{ t}_{ж 2}  ^{. (2.31)}

_{Величина k имеет ту же размерность, что и , и называется коэф-}

фициентом теплопередачи. Коэффициент теплопередачи k характеризу- ет интенсивность передачи тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку и численно равен количеству тепла, которое передается через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в 1 К.

Величина, обратная коэффициенту теплопередачи, называется

полным термическим сопротивлением.

Полное термическое сопротивление однослойной стенки запи- шется:

_{R } ¹ _

¹ _ ^ _

¹ _{. (2.32)}

^{k }₁

^{ }₂

Из (2.32) видно, что полное термическое сопротивление склады- вается из частных термических сопротивлений 1/₁, / и 1/₂, где

1/₁ = R₁ – термическое сопротивление теплоотдачи от горячей жидко- сти к поверхности стенки; / = R_c – термическое сопротивление тепло- проводности стенки; 1/₂ = R₂ – термическое сопротивление теплоотда- чи от поверхности стенки к холодной жидкости.

Поскольку общее термическое сопротивление состоит из частных термических сопротивлений, то совершенно очевидно, что в случае многослойной стенки нужно учитывать термическое сопротивление ка- ждого слоя. Полное термическое сопротивление теплопередачи через многослойную стенку при этом равно:

_{1 1 n  1}

_{R    } ⁱ _

_{. (2.33)}

^{k }₁

_{i 1} ^_i ^₂

Удельный тепловой поток через многослойную стенку, состоя- щую из n слоев, будет равен:

n

_{q } ^t_ж1 ^{ t}_{ж 2}

_{. (2.34)}

¹ _{ } ^i _ ¹

^_{1 i 1} ^_i ^ ₂

Уравнение (2.34) для многослойной стенки подобно уравнению (2.31) для однородной плоской стенки. Различие заключается в выраже- ниях для коэффициентов теплопередачи k. При сравнении уравнений (2.32) и (2.33) видно, что соотношение (2.32) является частным случаем уравнения (2.33) при n = 1.

Тепловой поток через поверхность F твердой стенки

Q  qF  ktF . (2.35)

Температуры поверхностей однородной стенки можно найти из следующих уравнений:

^t_c1 ^{ t}_ж1 ^{ q /}₁ ^;

_{   1}

_{   ; или t  t}

_{ q / .}

t_{c 2}

t_ж1

q _{   }

i

_{c 2 ж 2 2}

_{ 1 }

Из сопоставления уравнений (2.24) и (2.34) следует, что передача тепла через многослойную стенку при граничных условиях первого ро- да является частным случаем более общего случая передачи тепла при граничных условиях третьего рода.

На основании сказанного температура на границе любых двух слоев i и i + 1 при граничных условиях третьего рода может быть опре-

_{делена по уравнению}

_{tc (i 1)}

_{ tж1}

_

_

_{ q }

¹ _{ }

^_i ^ _{. (2.36)}

_{ }

_ 1 ^{i 1} i _

2 . 5 . 2 . П е р е д а ч а т е п л а ч е р е з ц и л и н д р и ч е с к у ю с т е н к у

Рассматриваемая задача соответствует случаям оболочки тепло- выделяющего элемента и трубы технологического канала ядерного ре- актора.

а ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я п е р в о г о р о д а .

Рассмотрим стационарный процесс теплопроводности в цилинд- рической оболочке (трубе) с внутренним диаметром d₁ = 2r₁ и наруж- ным диаметром d₂ = 2r₂ (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Теплопроводность цилиндрической стенки

На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t_c1и t_c2. В заданном интервале температур коэффициент теплопроводности мате- риала стенки  является постоянной величиной. Необходимо найти рас- пределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток че- рез нее.

В рассматриваемом случае дифференциальное уравнение тепло- проводности удобно записать в цилиндрической системе координат:

_{2 2 2}

_²_{t } ^{ t}

_ ^{1 t} _ ¹

^{ t} _ ^{ t}

_{ 0 . (2.37)}

_r ²

_{r r r} ² _ ²

_z ²

При этом ось оz совмещена с осью трубы.

При заданных условиях температура изменяется только в ради- альном направлении, температурное поле  одномерное. Поэтому

^t _{ 0 и}

^z

²t

_z ²

 0 .

Кроме того, так как температуры на наружной и внутренней по- верхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна изменяться также вдоль , т. е.

^t _{ 0 и}



²t

_ ²

 0 .

С учетом этого уравнение (2.37) примет вид:

_{Граничные условия}

d ²t dr ²

_ ^{1 dt} _{ 0 . (2.38)}

^{r dr}

при r  r₁

при r  r₂

t  t_c1;_

c 2 _

_{t  t .} ^

(2.39)

Если решить уравнение (2.38) совместно с (2.39), то получим уравнение температурного поля в цилиндрической стенке:

_ln ^r

_{t (r )  t}

_{ t}

_{ t }

^r_{1 ,}

_{r  r  r . (2.40)}

c1 c1

c 2 1 2

r

_ln ²

^r₁

Полученное выражение представляет собой уравнение логариф- мической кривой. То обстоятельство, что распределение температуры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

В случае плоской стенки удельный тепловой поток остается оди- наковым для всех изотермических поверхностей. По этой причине гра-

диент температуры сохраняет для всех изотермических поверхностей постоянную величину. В случае цилиндрической стенки плотность теп- лового потока через любую изотермическую поверхность будет величи- ной переменной, так как величина поверхности зависит от радиуса.

Для нахождения количества тепла, проходящего через цилиндри- ческую поверхность величиной F в единицу времени, можно воспользо-

_{ваться законом Фурье:}

_{Q  } ^dt _{F .}

^dr

Учитывая, что F = 2rl, получаем:

_{Q } ^{2l tc1  tc 2 } _{. (2.41)}

_ln ^d2

^d₁

Из уравнения (2.41) следует, что количество тепла, проходящее через цилиндрическую стенку в единицу времени, полностью определя- ется заданными граничными условиями и не зависит от радиуса.

Тепловой поток (2.41) может быть отнесен либо к единице длины

трубы, либо к единице внутренней или внешней ее поверхности. При

этом расчетные формулы для удельных тепловых потоков принимают вид:

q₁ 

Q

_{ d l}

_{2 tc1  tc 2 }

2

_{ , Вт/м (2.42)}

2

_d

¹ _{d1 ln}

^d₁

_{(тепловой поток через единицу внутренней поверхности);}

q₂ 

Q

_{ d l}

_{2 tc1  tc 2 }

2

_{ , Вт/м (2.43)}

2

_d

d

² _{2 ln}

^d₁

_{(тепловой поток через единицу наружной поверхности);}

l

_{q } ^Q _ ^{2 t}_c1 ^{ t}_{c 2} ^ _{, Вт/м (2.44)}

^l _ln ^d2

^d₁

(поток тепла, проходящий через единицу длины трубы).

Рассмотрим теплопроводность многослойной цилиндрической стенки, состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между

слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях

соседних слоев одинакова. Заданы температуры на внешних поверхно- стях стенки, коэффициенты теплопроводности и толщина слоев.

При стационарном режиме линейная плотность теплового потока

^q_l ^{не меняется по толщине стенки и определяется по формуле:}

_{ tc1  tc ( n1) }

^q_l ^ _n

_

¹ _ln

^di 1

. (2.45)

_{i 1} ^2_i ^d_i

_{Величина}

¹ _ln ^di 1

_{имеет размерность [мК/Вт] и называется ли-}

^2_i ^d_i

нейным термическим сопротивлением отдельного цилиндрического слоя, а величина

n

_ ¹ _ln ^di 1

_{i 1} ^2_i ^d_i

представляет собой термическое сопротивление всех слоев и называется полным линейным термическим сопротивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Понятие об эквивалентном коэффициенте теплопроводности для цилиндрической стенки принципиально не отличается от такого же по- нятия для многослойной плоской, поэтому

_ln ^dn1

_{ } ^d₁

_{. (2.46)}

1 d

экв _n

_{ ln} ^{i 1}

_{i 1} ^_i ^d_i

После того как определена линейная плотность теплового потока, из уравнений легко вычислить и температуру на границе любых двух слоев:

_{t  t}

_ ^q_l

¹ _ln ^d_{2 ;}

c 2 c1

_{ 2 d}

1 1

_{t  t}

_{ ql }

_{1 ln d2 }

_{1 ln d3 }

_{c3 c1  }

^{и t}_с(i+1) ^{для любого слоя:}

^ _ ^2₁

^d₁ ^2₂

^d_{2 }

i

_{t t ql }

_{1 ln di1 }

_{c (i 1) }

_{c1   }

_{ . (2.47)}

^ _ i 1 ^2_i

^d_{i }

Внутри любого слоя температура изменяется по логарифмической кривой. Вычислив температуру на границе любого слоя по уравнению (2.47), распределение температуры внутри слоя можно найти по форму- ле (2.40).

б ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я т р е т ь е г о р о д а ( т е п л о п е р е д а ч а ) .

Рассмотрим однородную цилиндрическую стенку (трубу) с посто- янным коэффициентом теплопроводности. Заданы постоянные темпера- туры подвижных сред t_ж1 и t_ж2 и постоянные значения коэффициентов теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях трубы ₁ и ₂ (рис. 2.5).

Необходимо найти q_l и t_c. Будем полагать, что длина трубы велика по сравнению с толщиной стенки. Тогда потерями тепла с торцов трубы можно пренебречь и при установившемся тепловом режиме количество тепла, которое будет передаваться от горячей среды к поверхности стенки, проходить через стенку и отдаваться от стенки к холодной жид- кости, будет одно и то же. Следовательно, можно написать:

_

_{ql  1 d1 tж1  tc1 ;} ^

_

_{2 tc1  tc 2  }

^q_l ^ _d ^; _

(2.48)

_ln ² _

^d₁ 

_

^q_l ^{ } ₂^{ d}₂ ^t_{c 2} ^{ t}_{ж 2} ^._

Рис. 2.5. Теплопередача через однородную цилиндрическую стенку

Выражая температурный напор в (2.48) и складывая уравнения, получаем:

_{t  t}

_{ ql  1}

_{ 1 ln d2  1  .}

_{ж1 ж 2  }

_{Отсюда следует:}

^ _ ^₁^d₁ ^2

^d₁ ^₂ ^d_{2 }

_{ql }

^ ^t_ж1 ^{ t}_{ж 2} 

_{. (2.49)}

_{Введем обозначение:}

1

₁d₁

_ ¹ _ln ^d2 _

^{2 d}₁

1

₂ d₂

k_l 

1

^₁^d₁

1

_ ¹ _ln ^d2

^{2 d}₁

_ ¹

^ ₂^d₂

, Вт/(мК). (2.50)

С учетом (2.50) уравнение (2.49) запишется:

^q_l ^{ k}_l^ ^t_ж1 ^{ t}_{ж 2}  ^.

Величина k_l называется линейным коэффициентом теплопередачи. Она характеризует интенсивность передачи тепла от одной подвижной среды к другой через разделяющую их стенку. Величина k_l, численно равна количеству тепла, которое проходит через стенку трубы длиной в

1 м в единицу времени от одной среды к другой при разности темпера- тур между ними в 1 К.

Величина R_l = 1/k_l, обратная коэффициенту теплопередачи, назы- вается линейным термическим сопротивлением. Она равна:

₁

^R_l ^

k

l

_ ¹

^₁^d₁

_ ¹ _ln ^d2 _

^{2 d}₁

1

^₂ ^d₂

. (2.51)

Отдельные составляющие полного термического сопротивления представляют собой:

1/₁d₁ и 1/₂d₂ – тепловые сопротивления теплоотдачи на соответ- ствующих поверхностях, которые обозначаются как R_l1 и R_l2 соответст-

_венно;

¹ _ln ^d2

_{– тепловое сопротивление теплопроводности стенки, ко-}

^{2 d}₁

торое обозначается через R_lс.

Следует отметить, что линейные термические сопротивления теп-

лоотдачи для трубы определяются не только коэффициентами теплоот- дачи ₁ и ₂, но и соответствующими диаметрами.

На практике часто встречаются цилиндры, толщина стенок кото-

рых мала по сравнению с диаметром. В этом случае при расчетах можно пользоваться формулами как для плоской стенки. При этом если d₂/d₁ < 2, то погрешность расчета не превышает 4 %. Для многих техни- ческих расчетов ошибка, не превышающая 4 %, вполне допустима. Обычно в инженерных расчетах, если d₂/d₁ ≤ 1.8, пользуются форму- лой (2.29), в которой  – толщина цилиндрической стенки.

В случае теплопередачи через многослойную цилиндрическую стенку пользуются следующей формулой:

_{q } ^{ t}_ж1 ^{ t}_{ж 2} ^

_{. (2.52)}

_{l n}

¹ _{ } ¹

_ln ^di 1 _ ¹

^₁^d₁

_{i 1} ^2_i

^d_i ^ ₂ ^d_n1

Температура на границе любых двух слоев i и i + 1 при граничных условиях третьего рода может быть определена по уравнению

_{t t ql }

_{1 1 ln di 1 }

c (i 1) ^

ж1 ^ _

_

_ ^₁^d₁

^ _

i

2

^{i 1} i

_{ . (2.53)}

^di _

2 . 5 . 3 . П е р е д а ч а т е п л а ч е р е з ша р о в у ю с т е н к у

а ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я п е р в о г о р о д а .

Пусть имеется полый шар с радиусами r₁ и r₂, постоянным коэф- фициентом теплопроводности  и с заданными равномерно распреде- ленными температурами поверхностей t_с1 и t_c2. Толщина шаровой стен- ки   r₂  r₁ .

Так как в рассматриваемом случае температура изменяется только в радиальном направлении, то дифференциальное уравнение теплопро- водности в сферических координатах принимает вид:

2

²t  ^{d t} dr ²

_{Граничные условия запишутся:}

_ 2 dt r dr

 0 . (2.54)

при r  r₁

при r  r₂

t  t_c1;_

c 2 _

_{t  t .} ^

(2.55)

Решением уравнений (2.54) и (2.55) будет уравнение температур- ного поля в шаровой стенке:

_{t (r )  t}

_{ tc1  tc 2  1  1  ,}

_{r  r  r . (2.56)}

_{c1 1 1}

_{ r r  1 2}

_ ^{ 1 }

^r₁ ^r₂

Для нахождения количества тепла, проходящего через шаровую поверхность величиной F в единицу времени, можно воспользоваться законом Фурье:

_{Q  } ^dt _{F    4 r} ^{2 dt} _.

^{dr dr}

Если в это выражение подставить значение градиента температу- ры, то получим:

_{4 tc1  tc 2 }

_{Q  }

2t

_{ } ^d₁^d_{2 t . (2.57)}

¹ _ ^{1 1} _ ^{1 }

^r₁ ^r₂

^d₁ ^d₂

Из уравнения (2.56) следует, что при постоянном коэффициенте теплопроводности  температура в шаровой стенке описывается гипер- болическим законом.

б ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я т р е т ь е г о р о д а ( т е п л о п е р е д а ч а ) .

При заданных граничных условиях третьего рода, кроме r₁ и r₂, будут известны t_ж1 и t_ж2, а также коэффициенты теплоотдачи на по- верхности шаровой стенки ₁ и ₂. Величины t_ж1, t_ж2, ₁, ₂ предпола- гаются постоянными во времени.

Поскольку процесс стационарный и полный тепловой поток будет постоянным для всех изотермических поверхностей, то можно записать:

1 1

ж1

^{Q    d 2} ^t

_2

^{ t}_c1  ^;

_{Q }

¹ _ ¹

^t_c1 ^{ t}_{c 2} ^{ ;}

^d₁ ^d₂

2 2

c 2

^{Q    d 2} ^t

_{Из этих уравнений следует, что}

^{ t}_{ж 2}  ^.

_{Q } ^{ tж1  tж 2 }

_{. (2.58)}

_{1  1  1  1   1}

_{ d 2}

_{2  d d }

_{ d 2}

_{1 1 }

_{1 2  2 2}