1.4. Статическое давление

Любое статическое давление в жидкости вызывает усилие, пер- пендикулярное стенкам сосуда. Такие силы могут быть очень большими и должны учитываться при проектировании. Если обозначить через z высоту над поверхностью постоянного давления, то разность давлений между высотами z₂ и z₁ в покоящейся жидкости (при отсутствии трения и ускорения) равна

_{p2  p1 }

^z1 _gdz

_{ }

g z₁

 z₂

_

_{. (1.18)}

z ₂ ^{g c gc}

Выражение (1.18) полезно для вычисления основных поправок на неизотермичность манометров и т.п.

_{Интегрирование по замкнутому контуру дает}

_

_{g  z1}

_

_{z 2 }

_{g z1}

_{g  z1}

_{pB }

_{  a dz }

_{ b dz  }

_{  a  b dz }

^{0 0} _{ tb  ta dz . (1.19)}

^gc _ ^z ₂

^z_{1 }

^{g c z} ₂

^{g c z} ₂

1.5. Уравнение теплопроводности

Использование при расчетах закона сохранения энергии чрезвы- чайно полезно в тех случаях, когда скорость потока жидкости, его рас- ширение и теплой поток весьма высоки, что имеет место в активной зо- не ядерных реакторов. Рассмотрим элемент массы, мгновенно зани- мающий объем dxdydz с центром в точке x, y, z за элементарный проме- жуток времени d (см. рис. 1.3).

Для облегчения вывода дифференциального уравнения сделаем следующие допущения: тело однородно и изотропно; физические пара- метры постоянны; деформация рассматриваемого объема, связанная с

изменением температуры, является очень малой величиной по сравне- нию с самим объемом; макроскопические частицы тела неподвижны друг относительно друга; внутренние источники тепла в теле, которые в

общем случае могут быть заданы как равномерно.

q_v 

^f  ^{x, y, z,}

^  ^{, распределены}

а) Расположение элемента объема в пространстве

b) Элемент объема dxdydz

Рис. 1.3. К выводу уравнения теплопроводности

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводно- сти положен закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество те- пла dQ, введенное в элементарный объем извне за время dτ вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равно измене- нию внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объ- еме:

dQ₁  dQ₂  dQ , (1.20)

где dQ₁ – количество тепла, введенное в элементарный объем путем те- плопроводности за время dτ; dQ₂ – количество тепла, которое за время dτ выделилось в элементарном объеме dV за счет внутренних источни- ков; dQ – изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме dV, за время dτ.

Для нахождения составляющих уравнения (1.20) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dх, dу, dz (см. рис. 1.3b). Параллелепипед расположим так, чтобы его грани были параллельны соответствующим координатным плоскостям.

Количество тепла, которое подводится к граням элементарного объема за время dτ в направлении осей ох, оу, оz, обозначим dQ_x, dQ_y, dQ_z, соответственно.

Количество тепла, которое будет отводиться через противопо- ложные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz. Количество тепла, подведенное к грани dydz в направле- нии оси ох за время dτ, составляет dQ_x  q_x dydzd , где q_х – проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество тепла, отведенного через противоположную грань элемен-

тарного параллелепипеда в направлении оси ох, запишется как

dQ_xdx  q_xdx dydzd .

Разница количеств тепла, подведенных к элементарному паралле- лепипеду и отведенных от него за время dτ в направлении оси ох пред- ставляет собой количество тепла dQ_x1:

dQ_x1  dQ_x  dQ_xdx . (1.21)

Функция q_х+dx является непрерывной в рассматриваемом интерва- ле dх и может быть разложена в ряд Тейлора:

_{q  q}

_ ^q

x _{dx }

x

² q

x²

_{ ... .}

^{xdx x} _x

_x² _2!

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение

_{(1.21) запишется в следующем виде:}

dQ_x1

_{ } ^qx _{dxdydzd . (1.22)}

^x

Аналогичным образом можно найти количество тепла, подводи- мое к элементарному объему и в направлениях двух других координат- ных осей оу и оz.

Количество тепла dQ₁, подведенное теплопроводностью к рас- сматриваемому объему, будет равно:

_{dQ    qx  qy}

_{ qz  dxdydzd . (1.23)}

_{1  x y}

_{z }

 

Определим вторую составляющую уравнения (1.20) dQ₂. Обозна- чим удельную производительность внутренних источников тепла через q_v, [Вт/м³]. Удельную производительность внутренних источников на- зывают также «объемной плотностью тепловыделения». Объемная плотность – это количество тепла, которое выделяется в единице объема вещества в единицу времени. Тогда

dQ₂  q_v dVd . (1.24)

Третья составляющая уравнения (1.20), характеризующая измене- ние внутренней энергии, может быть найдена по известному уравнению

_{dQ  c} ^t



dVd . (1.25)

Подставляя полученные выражения (1.23), (1.24) и (1.25) в урав- нение (1.20), получаем:

_{t  }

_{1  qx  qy}

_{ qz   qv}

_{. (1.26)}

_{ c  x y}

_{z  c}

 

Проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси ох, оу, оz определяются выражениями (закон Фурье)

_{q  } ^t _;

^x x

_{q  } ^t _;

^y y

_{q  } ^t _.

^z z

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (1.26), получаем:

_{2 2 2}

_{t }

_{   t}

_{  t}

_{  t   qv}

_{. (1.27)}

_{ c  x2}

_y2

_{z 2  c}

 

_{Если в уравнении (1.27) обозначить}

^  a c

_и

_{2 2 2}

 t

_x²

_ ^{ t}

y ²

_ ^{ t}

z ²

 ²t ,

_{где а – коэффициент температуропроводности, м}²_/с;

_²_t

_{– оператор Ла-}

пласа в декартовой системе координат, то получим уравнение тепло- проводности в общем виде

^t _{ a}²_{t }



^qv _{. (1.28)}

c

Уравнение теплопроводности является частным случаем уравне- ния энергии:

^Dt _{ a}²_{t } ^qv

^{d c}

, (1.29)

_{в котором полная (субстанциональная) производная по времени} ^D

^d

учитывает процесс переноса тепла, вызванный движением имеющих

различную температуру элементов потока жидкой (газообразной) сре- ды:

^D _ ^ _{ w}

^ _{ w}

^ _{ w} ^ _,

_{d }

^x _x

^y _y

^z _z

где w_x, w_y, w_z – проекции вектора скорости потока на соответствующие оси декартовой системы координат.

_{Выражение }²_t

_{в цилиндрической системе координат имеет вид:}

_{2 2 2}

_²_{t } ^{ t}

_ ^{1 t} _ ¹

^{ t} _ ^{ t} _,

_r ²

_{r r r} ² _ ²

_z ²

где r – радиальная,  – угловая и z – аксиальная (осевая) координаты, соответственно.

_{Выражение }²_t

_{в сферических координатах имеет вид:}

_2t

_{2 t}

_{1 t }

_{t }

_{1 2t}

_²_{t   }

_{1  } ² _

_{    ,}

r ²

^{r r r 2 } _

^ _

r ² 1   ²

 ²

где

  cos ;  и  – угловые координаты.

_{Уравнение (1.28) называется дифференциальным уравнением теп-}

лопроводности. Оно устанавливает связь между временным и простран- ственным изменением температуры в любой точке тела, в котором про- исходит процесс теплопроводности.

Коэффициент температуропроводности а является физическим параметром вещества, используется при описании нестационарных теп-

ловых процессов и характеризует скорость изменения температуры. Ес- ли коэффициент теплопроводности характеризует способность тел про- водить тепло, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (1.27) следует, что изме-

_{нение температуры во времени}

_{t / }

_{для любой точки пространства}

пропорционально величине а. Иначе говоря, скорость изменения темпе- ратуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности а. Поэтому, при прочих равных условиях, вы- равнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое характеризуется большим коэффициентом температуропроводности. Величина коэффициента температуропровод- ности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обла-

дают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым ко- эффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой теп- ловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент тем- пературопроводности.