1.6. Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведе- но на основе общих законов физики, то оно описывает явление переноса тепловой энергии в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что по- лученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений теплопереноса. Чтобы из бесчисленного количества этих явлений выде- лить рассматриваемый процесс и дать его полное математическое опи- сание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить ма- тематическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференци- альным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопереноса, называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя: геометрические усло- вия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает про- цесс; физические условия, характеризующие физические свойства сре- ды и тела; временные и начальные условия, характеризующие распре- деление температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемо- го тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные разме- ры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела λ, с,  др. и может быть задан закон распределения внутренних источни- ков тепла.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационар- ных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом:

при  = 0 t = f(x, y, z).

В случае равномерного распределения температуры в теле на- чальное условие упрощается:

 = 0 t = t₀ = const.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

а ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я п е р в о г о р о д а . При этом задается рас- пределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

t_c = f(x, y, z, ).

где t_с – температура на поверхности тела; х, у, z – координаты поверхно- сти тела.

В частном случае, когда температура на поверхности является по-

стоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплооб- мена, приведенное выше уравнение упрощается и принимает вид:

t_с = const.

б ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я в т о р о г о р о д а . При этом задаются ве- личины теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени.

Аналитически это можно представить следующим образом:

q = f(x, y, z, ),

где q – плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:

q = q₀ = const.

Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагрева- нии различных металлических изделий в высокоэнергетических уста- новках.

в ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я т р е т ь е г о р о д а . При этом задаются температура окружающей среды t_ж и закон теплообмена между поверх- ностью тела и окружающей средой. Граничные условия третьего рода характеризуют закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описания процес- са теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона – Рихмана.

Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой отно- сится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров. Подробно эти вопросы будут рассмотрены в третьей главе.

Согласно закону Ньютона – Рихмана количество тепла, отдавае- мое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально

разности температур поверхности тела t_c и окружающей среды t_ж

^(t_c ^{> t}_ж^):

^{q  } ^t_c ^{ t}_ж  ^{, (1.30)}

где  – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²K).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность тепло-

обмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству тепла, отдаваемого (или воспринимаемого) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между по- верхностью тела и окружающей средой, равной 1 K.

Согласно закону сохранения энергии количество тепла, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие тепло- отдачи [см. уравнение (1.30)], должно равняться теплу, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т. е.

^{c ж } _n ^

_{ t  t   } ^{ t }

^{ }_c

, (1.31)

где n – нормаль к поверхности тела, индекс «с» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n = 0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в следующем виде:

_{ t }

n

_{ }

^{ }_c

_{ } ^

^

_t_c  t_{ж } . (1.32)

Уравнение (1.32) называется уравнением теплоотдачи, по сущест- ву является частным выражением закона сохранения энергии для не- подвижной поверхности тела.

Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов. Однако во многих случаях коэффициент теплоотдачи можно считать неизменным, поэтому мы будем в дальнейшем при решении задач теп-

лопроводности принимать величину  постоянной.

г ) Г р а н и ч н ы е ус л о в и я ч е т в е р т о г о р о д а характеризуют усло- вия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей оди- наковы).

В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых по- токов, проходящих через поверхность соприкосновения, т. е.

_{  t1 }

_{   t2 }

_{. (1.33)}

_{1  }

^{ n }_c

_{2  }

^{ n }_c

В задачах с граничным условием четвертого рода задается отно- шение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел или тела и среды (см. рис. 1.4)

tg₁

^tg₂

_ ^2

^₁

 const .

Рис. 1.4. К определению граничных условий четвертого рода

Так как при совершенном контакте оба тела на поверхности со- прикосновения имеют одинаковую температуру, то касательные у по- верхности раздела проходят через одну и ту же точку.

Дифференциальное уравнение (1.27) совместно с условиями одно- значности дает полную математическую формулировку конкретной за- дачи теплопроводности. Поставленная таким образом задача разрешает- ся аналитически или численным методом. При исследовании процессов

теплообмена также используются методы компьютерного моделирова- ния или тепловых аналогий.