2. Натуральные, простые, отрицательные числа. Основные арифметические действия и законы. Законы ассоциативности (сочетательности), коммутативности и дистрибутивности (распределительности).

Натуральные числа (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

• перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);

• обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком  . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Множество   будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксирован некоторый элемент   (единица) и функция   (функция следования) так, что выполнены следующие условия

1.  (  является натуральным числом);

2. Если  , то   (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);

3.  (1 не следует ни за каким натуральным числом);

4. Если   и  , тогда   (если натуральное число   непосредственно следует как за числом  , так и за числом  , то  );

5. Аксиома индукции. Пусть   — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа  . Тогда:

если   и  , то 

(Если некоторое высказывание   верно для   (база индукции) и для любого   при допущении, что верно  , верно и   (индукционное предположение), то   верно для любых натуральных  ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о «натуральном ряде».

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Все остальные натуральные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа больше единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137,139, 149, 151, 157, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

• Если   — простое, и   делит  , то   делит   или  . Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно каклемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.

• Кольцо вычетов   является полем тогда и только тогда, когда   — простое.

• Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.

• Если   — простое, а   — натуральное, то   делится на   (малая теорема Ферма).

• Если   — конечная группа с   элементов, то   содержит элемент порядка  .

• Если   — конечная группа, и   — максимальная степень  , которая делит  , то   имеет подгруппу порядка  , называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно   для некоторого целого  (теоремы Силова).

• Натуральное   является простым тогда и только тогда, когда   делится на   (теорема Вильсона).

• Если   — натуральное, то существует простое  , такое, что   (постулат Бертрана).

• Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при 

• Любая арифметическая прогрессия вида  , где   — целые взаимно простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

• Всякое простое число, большее 3, представимо в виде   или  , где   — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 — например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.

• Если   — простое, то   кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3).

• Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел.

• Никакое простое число не может иметь вид  , где n>2, k>1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид  , то k — простое (см. числа Мерсенна).

• Никакое простое число не может иметь вид  , где n>1, k>0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1.

• Существуют многочлены, множество положительных значений которых при неотрицательных значениях переменных совпадает с множеством простых чисел. Одним из примеров является многочлен

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа — 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных — 10 при степени около 1,6·10⁴⁵. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества.

Отрицательное число— элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля.

Все отрицательные числа, и только они, меньше, чем ноль. На числовой оси отрицательные числа располагаются слева от нуля. Для них, как и для положительных чисел, определено отношение порядка, позволяющее сравнивать одно целое число с другим.

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет nдо нуля:

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с остатком частное может иметь любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

.

Ассоциативность (сочетательность, сочетательный закон) — свойство сложения и умножения чисел, выражаемое тождествами (а + b) + с = = а + (b + с) и (аb) с = a (bc). Ассоциативная операция — это бинарная операция  , обладающая ассоциативностью (лат. associatio — соединение), или сочетательностью:

 для любых элементов  .

Для ассоциативной операции результат вычисления   не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение   при   в общем случае не определено.

Закон коммутативности - общее название логических законов, позволяющих менять местами высказывания, связанные конъюнкцией ("и"), дизъюнкцией ("или"), эквивалентностью ("если и только если") и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения - от порядка слагаемых и т. д.

Символически 3. к. для конъюнкции и дизъюнкции записываются так (р, q - некоторые высказывания, & - конъюнкция, v - дизъюнкция, = - эквивалентность):

(p&q) = (q&p), р и q тогда и только тогда, когда q и р;

(pvq) = (qvp), р или q, если и только если q или р.

Дистрибутивность, также распределительность— свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если для любых трех элементов  :

 — дистрибутивность слева;

 — дистрибутивность справа.

Если операция × является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа совпадают.

Аддитивная и мультипликативные операции в кольцах и полях по определению удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).