Свойства
Всякое вещественное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби, при этом иррациональные числа и только они записываются непериодическими бесконечными десятичными дробями.
Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.
Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории.[1]
Трансцендентное число ) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целыми коэффициентами.
Свойства
Множество трансцендентных чисел континуально.
Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена
(и
потому является алгебраическим).Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.
Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.
Мнимая
единица — это число, квадрат которого
равен −1. Т.е. 
—
это одно из решений уравнения
или
И
тогда его вторым решением уравнения
будет 
,
что проверяется подстановкой.
Степени мнимой единицы
Степени i повторяются в цикле:
Что может быть записано для любой степени в виде:
где n — любое целое число.
Отсюда: 
где mod
4 это остаток
от деления на
4.
Число 
является вещественным :
Факториал
Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:
Также,
Корни из мнимой единицы
В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинахправильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.
Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:
В
частности, 
и 
Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
Комплексные числа. Комплексно сопряженные числа. Геометрическая, тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел.
Комплексные числа —
расширение поля вещественных
чисел,
обычно обозначается 
.
Любое комплексное число может быть
представлено как формальная сумма 
,
где
и 
—
вещественные числа,
— мнимая
единица.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Если
комплексное число 
,
то число 
называется
сопряжённым (или
комплексно
сопряжённым)
к 
(обозначается
также 
).
На комплексной плоскости сопряжённые
числа получаются зеркальным отражением
друг друга относительно вещественной
оси. Модуль сопряжённого числа такой
же, как у исходного, а их аргументы
отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
(сопряжённое
к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: 
,
где 
—
произвольный многочлен с вещественными
коэффициентами.
Значимость
сопряжения объясняется тем, что оно
является образующей группы
Галуа 
.