9. Прогрессии. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида

,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа   (шага или разности прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При   она является возрастающей, а при   — убывающей. Если  , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения   для членов арифметической прогрессии.

• Натуральный ряд   — это арифметическая прогрессия, в которой первый член  , а разность  .

•  — первые 5 членов арифметической прогрессии, в которой   и  .

• Если все элементы некоторой последовательности равны между собой и равны некоторому числу  , то это есть арифметическая прогрессия, в которой   и  . В частности,   есть арифметическая прогрессия с разностью  .

• Сумма первых   натуральных чисел выражается формулой

.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел   (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число   (знаменатель прогрессии), где  ,  :  .

Примеры

• Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[3]:8-9.

• Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

• 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.

• 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем -½.

•  — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

10. Средние величины. Среднее арифметическое, квадратичное, геометрическое. Золотое сечение.

Среднее арифметическое - одна из наиболее распространённых мер центральной тенденции, представляющая собой сумму всех наблюденных значений деленную на их количество.

Частными случаями среднего арифметического являются генеральное среднее ( генеральной совокупности) и выборочное среднее ( выборки).

Обозначим множество данных X = (x₁, x₂, …, x_n), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной ( , произносится «x с чертой»).

Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ. Для случайной величины, для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x_i из этой совокупности μ = E{x_i} есть математическое ожидание этой выборки.

На практике разница между μ и   в том, что μ является типичной ненаблюдаемой переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда   (но не μ) можно трактовать как случайную переменную, имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

Если X — случайная переменная, тогда математическое ожидание X можно рассматривать как среднее арифметическое значений в повторяющихся измерениях величины X. Это является проявлением закона больших чисел. Поэтому выборочное среднее используется для оценки неизвестного математического ожидания.

В элементарной алгебре доказано, что среднее n + 1 чисел больше среднего n чисел тогда и только тогда, когда новое число больше чем старое среднее, меньше тогда и только тогда, когда новое число меньше среднего, и не меняется тогда и только тогда, когда новое число равно среднему. Чем больше n, тем меньше различие между новым и старым средними значениями.

Заметим, что имеется несколько других «средних» значений, в том числе среднее степенное, среднее Колмогорова,гармоническое среднее, арифметико-геометрическое среднее и различные средне-взвешенные величины.