24. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.

25. Неевклидовы геометрии и физическое пространство.

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского исферической геометрии.

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат:

• Евклидова геометрия:   (теорема Пифагора).

• Сферическая геометрия:  . Здесь R — радиус сферы.

• Геометрия Лобачевского:  . Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch —гиперболический косинус.

26. Алгебраические действия со степенями и корнями.

27. Система уравнений первой степени. Способы решений.

28. Определители (детерминанты). Минор и адъюнкта определителя. Свойства определителей. Вычисление определителей второго и третьего порядка.

29. Решение системы линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевымопределителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Описание метода

Для системы   линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы  , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что   отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы   и  , либо набор   состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители:

Вычислительная сложность

Метод Крамера требует вычисления   определителей размерности  . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей, метод имеет временную сложность порядка  , что хуже, чем если бы метод Гаусса напрямую использовался для решения системы уравнений. Поэтому метод считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью  , сравнимой со сложностью метода Гаусса.