Свойства

• Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества  . Любое континуальное множество имеет счётное подмножество.

• Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов  . Любое континуальное множество имеет подмножество мощности  . Предположение о том, что   называется континуум-гипотезой.

• Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.

• При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, кофинальность (англ.) континуума - несчётна.

Примеры

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

• Все точки отрезка  .

• Все точки плоскости   (или  ).

• Множество всех иррациональных чисел.

• Множество всех трансцендентных чисел.

• Множество всех подмножеств счётного множества.

• Множество всех частичных порядков на счётном множестве.

• Множество всех счётных множеств натуральных чисел.

• Множество всех счётных множеств вещественных чисел.

• Множество всех непрерывных функций  .

• Множество всех открытых подмножеств плоскости   (или  ).

• Множество всех замкнутых подмножеств плоскости   (или  ).

• Множество всех борелевских подмножеств плоскости   (или  ).

7. Суть метода математической индукции. Понятие факториала.

Математическая индукция — один из методов математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Формулировка

Предположим, что требуется установить справедливость бесконечной последовательности утверждений, занумерованных натуральными числами:  .

Допустим, что Установлено, что   верно. (Это утверждение называется базой индукции.) Для любого n доказано, что если верно  , то верно  . (Это утверждение называетсяиндукционным переходом.) Тогда все утверждения нашей последовательности верны.

Логическим основанием для этого метода доказательства служит так называемая аксиома индукции, пятая из аксиом Пеано, определяющих натуральные числа. Верность метода индукции эквивалентна тому, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел существует минимальный элемент.

Принцип полной математической индукции

Существует также вариация, так называемый принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:

Пусть имеется последовательность утверждений  ,  ,  ,  . Если для любого натурального   из того, что истинны все  ,  ,  ,  ,  , следует также истинность  , то все утверждения в этой последовательности истинны, то есть  .

В этой вариации база индукции оказывается излишней, поскольку является тривиальным частным случаем индукционного перехода. Действительно, при   импликация   эквивалентна  . Принцип полной математической индукции является прямым применением более сильной трансфинитной индукции.

Принцип полной математической индукции также эквивалентен аксиоме индукции в аксиомах Пеано.

Факториал числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториал) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

Например:

По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция  ).