4. Максиминный и минимаксный принципы игроков. Показатели эффективности и неэффективности чистых стратегий игроков.

Задача: выбор такой стратегии, которая способствует достижению поставленной цели – максимизации выигрыша игрока А или минимизации проигрыша игрока В. Перед игроком А стоит задача выбора чистой стратегии из множества S_A^C, эффективной в определенном смысле, в результате применения которой он получит максимально возможный гарантированный выигрыш. Если игрок А выбрал стратегию A_i (i=1,…,m), то его выигрышем может быть один из a_i1, a_i2,…, a_in, расположенных в i ой строке матрицы в зависимости от выбранной стратегии игрока В. Далее игрок В сыграет для себя наилучшим образом, то есть выберет ту стратегию, которая минимизирует выигрыш игрока А. Пусть минимальный среди выигрышей α_i=min α_ij, i=1,…m – показатель эффективности стратегии А_i. далее игрок А выберет ту стратегию, которая максимизирует показатель эффективности α=max(от 1 до m) α_i

α=max min α_ij – максиминный принцип, выигрыш α – максимин, стратегия A_i0 соответствующая максимину α=α_i0 – максиминная стратегия игрока А. Пусть игрок А выберет максиминную стратегию A_i0, а игрок В произвольную стратегию B_l, тогда выигрыш игрока А в чистых стратегиях будет а_i0l≥min а_i0j=α_i0=α то есть игроку А гарантирован выигрыш не меньший максимина α – нижняя цена игры в чистых стратегиях.

Максимин (или нижняя цена игры) в чистых стратегиях – максимальный среди показателей эффективности чистых стратегий игрока А: .

Максиминная чистая стратегия игрока А – чистая стратеги А_k игрока А, показатель эффективности которой равен максимину в чистых стратегиях: .

Максиминный принцип – выбор игроком А максимальной чистой стратегии.

Если игрок B выбрал стратегию B_j (j=1,…,n) и предполагает что игрок А играет для себя наилучшим образом, то выигрышем для А будет ßj (показатель неэффективности стратегии Bj)=max_1≤i≤m aij В. Далее игрок В сыграет для себя наилучшим образом, то есть выберет ту стратегию, которая минимизирует его проигрыш.ß= min ß_j

ß= min max aij – минимаксный принцип, выигрыш ß– минимакс, стратегия B_j0 соответствующая минимаксу ß=ß_j0 – минимаксная стратегия игрока В.

Принцип минимакса:

Показатель эф-ти чистой стратегии А_i игрока А в антагонистич.игре – минимальный выигрыш игрока А при этой стратегии (мин. эл-т i-ой строки матрицы выигрышей игрока А: , j=1,…m.

Показатель неэф-ти чистой стратегии В_i игрока В – максимальный проигрыш игрока В при этой стратегии или макс.эл-т j-го столбца матрицы выигрышей игрока А: В_i =

4. Максимин и минимакс игры. Максиминные и минимаксные стратегии. Нижняя и верхняя цены игры в чистых стратегиях. Соотношение между ними.

Максимин (или нижняя цена игры)– максимальный среди показателей эффективности чистых стратегий игрока А: . При любой игре противника В гарантирован выигрыш в чистых стратегиях не меньший максимина.

Минимакс (верхняя цена) в чистых стратегиях – минимальный среди показателей неэфф-ти чистых стратегий игрока В: при любой стратегии игрока А игрок В не может проиграть больше минамакса.

Максиминная чистая стратегия игрока А – чистая стратеги А_k игрока А, показатель эффективности которой равен максимину в чистых стратегиях:

Минимаксная чистая стратегия игрока В – чистая стратегия В_k игрока В, показатель неэф-ти которой равен минимаксу:

Соотношение между минимаксом и максимином: показатель эфф. стратегии В_j (относительно выигрышей игрока В) противоположен показателю неэф-ти стратегии В_j ( относительно проигрышей игрока В) и максимин (отн. Выигрышей игрока В) противоп. Минимаксу (относит. Проигрышей игрока В)

Теорема: для элементов матрицы имеют место неравенства и следовательно нижняя цена игры не больше ее верхней цены в чистых стратегиях.

Если , то игра имеет решение в чистых стратегиях.

Док-во: по определению показателей эффективности αi стратегий Аi игрока Аи определению показателей неэффективности ßj стратегий Bj игрока В имеем αi=min a_ij≤a_ij≤max a_ij=ßj