4. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.

Пусть матрица А размером _2*2 не имеет седловой точки, т.е. решения в чистых стратегиях. Тогда каждый из игроков и обладает единственной оптимальной смешанной стратегией соответственно P*=(p₁*,p₂*) и Q*=( q₁*,q₂*), где

p₁^*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)

p₂^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)

q₁^*= (а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

q₂^*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)

Рассмотрим функцию выигрыша игрока A более подробно: F(P,Q)=∑∑p_ia_ijq_j

(P, Q)€ S_A*S_B

Примем также следующие обозначения:

p=p1, p2=1-p

q=q1, q2=1-q

Пусть m=2 и n=2,

тогда F(P,Q)=p(qa11+(1-q)a12)+(1-p)(qa21+(1-q)a22)

Представим в явном виде функцию как линейную функцию с аргументом (независимой переменной) q. Получим следующее выражение:

F(P,Q)=(a22+p(a12-a22))+q(p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22))

Если

p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22) >0, т.е. если

p>(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22), график функции имеет положительный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать свои потери (минимизировать функцию ), выбирая свою второю чистую стратегию, т.е. реализуя смешанную стратегию Q=(0;1),q=0. В итоге исход игры определится результатом гамма= F(P⁰,Q⁰)=a22+p(a12-a22)

Если p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22) <0, т.е. если

p<(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22), , график функции имеет отрицательный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать функцию , выбирая свою первую чистую стратегию Q=(1;0),q=1

Т. о.

а21+р(а11-а21)=ра11+(1-р)а21=а11р1+а21р2=v

a22+p(a12-a22)=pa12+(1-p)a22=p1*a12+p2a22=V

p1+p2=1

a₁₁ p₁^*+a₂₁ p^*₂ = v.

a₁₂ p₁^*+a₂₂ p^*₂ = v

p₁^*+ p^*₂=1

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

p₁^*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)

p₂^*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

и цену игры v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)

средний проигрыш второго игрока равен v, т.е. a₁₁ q₁^*+ a₁₂ q₂^*=v.

Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:

q₁^*= (а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)

q₂^*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)

4. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока a.

Составим систему уравнений на основе матрицы:

a11 a12

a21 a22

a₁₁ p₁+a₂₁ p₂ = v.

a₁₂ p₁+a₂₂ p₂ = v

p₁+ p₂=1

рассмотрим первое уравнение: a₁₁ p₁+a₂₁ p₂ = v.

a₁₁ p₁+a₂₁ (1-p₁) = v.

а21+p1(а11-а21)=V

если р=0 V=a21

p=1 V=a11

аналогично для второго уравнения

Итак, мы можем сформулировать общий алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока А, цены игры, нижней и верхней цены игры в чистых стратегиях, седловых точек матрицы и доминирующих стратегий игроков.

1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].

2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А₁ и правый, соотв.стратегии А₂.

3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a₁₁ и a₁₂ первой строки матрицы А

4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a₂₁ и a₂₂ второй строки матрицы А

5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одном и том же столбце матрицы А: a₁₁ с a₂₁ и a₁₂ с a_22. В результате получаем отрезки a₁₁a₂₁ и a₁₂a_22.

6. Находим нижнюю огибающую отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂

7. Находим наивысшие точки нижней огибающей

8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]

9. Полученные проекции р⁰ определяют оптимальные стратегии Р⁰=(1-р₀,р₀) игрока А.

10. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры V

11. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях

12. Нижний из двух верхних концов отрезков a₁₁a₂₁ и a₁₂a₂₂ есть верхняя цена игры в чистых стратегиях

13. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка a₁₁a₂₁ или a₁₂a₂₂ , на котором он лежит, то этот эл-т является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.

Если матрица игры содержит седловую точку, то автоматически выявляется и оптимальная стратегия игрока В. Но можно достаточно удовлетворительно проинтерпретировать геометрически оптимальную стратегию игрока В и в случае отсутствия седловых точек.