4. Теорема о существовании нижней и верхней цен игры в смешанных стратегиях.

Для любой конечной матричной игры существуют нижняя и верхняя цены игры в смешанных стратегиях. Причем смешанная стратегия P⁰ принадлежит S_A, максимизирующая показатель эффективности α (P) является максиминной смешанной стратегией игрока А. нижняя цена игры V = max α (P)= α (P⁰)

смешанная стратегия Q⁰ принадлежит S_B, минимизирующая показатель неэффективности ß (Q) является минимаксной смешанной стратегией игрока В. верхняя цена игры V(сверху) = minß(Q)= ß (Q⁰)

док-во:

функция α(P)=min F(P,Q) непрерывна на компакте S_A, то она достигает своего максимума на этом множестве, то есть существует нижняя цена игры в смешанных стратегиях

соотношение между нижними и верхними ценами игры:

нижняя цена игры α и верхняя цена игры ß в чистых стратегиях, нижняя цена игры V верхняя цена игры V(верхн черта) в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам α≤ V≤ V(верхн черта)≤ß

4. Теорема о соотношении нижней и верхней цен игры в чистых и смешанных стратегиях.

нижняя цена игры α и верхняя цена игры ß в чистых стратегиях, нижняя цена игры V верхняя цена игры V(верхн черта) в смешанных стратегиях удовлетворяют следующим неравенствам α≤ V≤ V(верхн черта)≤ß

док-во:

1. Рассмотрим α≤V. По определению нижней цены игры в смешанных стратегиях показатель эффективности в смешанных не превышает своего максимального значения: α(Р)≤max_P€SA α(Р)=V

В чистых: α_i= α(A_i)≤V для любой чистой стратегии оно будет справедливо и для той чистой стратегии, которая максимизирует показатель эффективности: α=max α_i≤V

2. Рассмотрим V≤V(верхн). Для любой смешанной стратегии P и Q с учетом доказанных утверждений (Для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии P € S_A игрока А существует (достигается) α (P, S_B)=min_{(Q € SВ)} H(P,Q). Число α (P, S_B) – показатель эффективности смешанной стратегии P€S_A игрока А относительно множества S_В смешанных стратегий игрока В. Для каждой смешанной (в частности, чистой) стратегии Q € S_B игрока B существует (достигается) ß (Q, S_A)=max_{(P €SA)} H(P,Q). Число ß (Q, S_A) – показатель неэффективности смешанной стратегии Q € S_B игрока B относительно множества S_A смешанных стратегий игрока A.) справедливо α(Р)=min_Q€SB F(P,Q)≤ F(P,Q)≤max_P€SA F(P,Q)=ß(Q). Данные соотношения показывают, что в любой ситуации в смешанных стратегиях выигрыш игрока А не меньше показателя эффективности любой его стратегии соответствующей стратегии Р и не больше показателя неэффективности стратегии Q противника В. Так как данное соотношение справедливо для любого P€S_A Q € S_B, то из него следует V=max α(Р)≤min ß(Q)=V(верхн)

3. Рассмотрим V(верхн)≤ß. По определению V(верхн)= min ß(Q)≤ ß(Q) справедливо и для Q=Bj значит V(верхн)≤min ß (Bj)= ß

4. Основная теорема матричных игр Джона фон Неймана и седловая точка функции.

Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т. е. существует цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P⁰ и Q⁰ соответственно игроков А и В, т. е. V= V=maxα(P)= V(верх)= min ß(Q)= α(P⁰)=ß(Q⁰)=F(P⁰, Q⁰)

Определение седловой точки: пусть задана функция выигрыша F(P,Q) действительная функция из P€S_A,Q€S_B, точка (P⁰,Q⁰) – седловая точка P⁰€S_A,Q⁰€S_B если F(P,Q⁰)≤ F(P⁰,Q⁰)≤ F(P⁰,Q) для любого P⁰€S_A, Q⁰€S_B

левая часть: max функции F(P,Q⁰) достигается в точке (P⁰,Q⁰), то есть max F(P,Q⁰)= F(P⁰,Q⁰)

правая: min функции F(P⁰,Q) достигается в точке (P⁰,Q⁰), то есть min F(P⁰,Q)= F(P⁰,Q⁰)

max F(P,Q⁰)= F(P⁰,Q⁰)=min F(P⁰,Q) Это и означает существование седловой точки функции .

Рассмотрим для антогонистической игры для чистых стратегий: элемент матрицы aij – седловая точка, если minmax aij=maxmin aij= aij = гамма