Упражнения для самостоятельной работы

1. Приведите следующие дифференциальные уравнения I порядка к виду, разрешенному относительно производной:

2. Проанализируйте теорему существования и единственности для данных ДУ I порядка и определите:

а) можно ли найти единственное частное решение, удовлетворяющее начальному условию б) все особые точки данного ДУ: 1) ,

2) , 3) , .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1.
2.	1)	а) можно; б) особыми являются точки и
	2)	а) нельзя; б) особыми являются точки
	3)	а) можно; б) особыми являются точки

§2.	Основные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (решение ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ, ДУ Бернулли)

2.1. Основные типы ду I порядка, их каноническая форма и суть методов решения

1. ДУ с разделяющимися переменными:

нужно разделить переменные и проинтегрировать обе части равенства с добавлением константы.

2. Однородные ДУ :

нужно заменить

3. Линейные ДУ I порядка:

нужно заменить

4. ДУ Бернулли, или обобщенное линейное:

, где

нужно заменить

Если общее решение ДУ выражается через интегралы, то говорят, что дифференциальное уравнение интегрируемо в квадратурах.

Например,

1) данное ДУ интегрируемо в квадратурах;

2) ДУ Риккати:

-известо как ДУ, которое не интегрируется в квадратурах.

2.2.Диференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением I порядка с разделяющимися переменными называется ДУ, имеющее следующий общий вид:

Каноническая форма ДУ с разделяющимися переменными:

(1)

Отличительной особенностью ДУ (1) является то, что в его правой части стоит произведение функции, зависящей только от х, на функцию, зависящую только от y.

Учитывая, что производную можно записать, как отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента: , разделим переменные в ДУ (1), собрав в одной части равенства только выражения, зависящие от х, а в другой – только выражения, зависящие от у:

-называется ДУ с разделёнными переменными.

Пусть

Тогда ДУ с разделёнными переменными можно переписать в следующем виде:

Подставляя в последнее равенство функции и , получим общий интеграл ДУ(1):

.

Таким образом, выведено правило решения ДУ с разделяющимися переменными:

1. переходим от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделёнными переменными;

2. интегрируем обе части ДУ с разделёнными переменными с добавлением произвольной постоянной .

Замечание.

Разделение переменных в ДУ(1) проходило при условии . Это означает, что случай должен быть рассмотрен отдельно. Так как уравнению могут удовлетворять функции и эти же функции удовлетворяют ДУ, то случай может давать особые решения ДУ(1).

Пример 1

Решить ДУ с разделяющимися переменными:

Решение

Разделяем переменные в данном ДУ, пользуясь свойством пропорции:

– получили ДУ с разделёнными переменными.

Интегрируем обе части ДУ с разделёнными переменными, добавляя постоянную :

.

В результате интегрирования получили общий интеграл исходного ДУ. Переход к общему решению возможен, если сможем выразить через и в явном виде. В данной задаче это возможно:

Ответ: