Обобщение теоремы об общем решении на однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Общим решением ЛОДУ n-го порядка

(3')

является функция, равная линейной комбинации n линейно независимых частных решений этого уравнения:

(6')

Здесь

– произвольные постоянные, – линейно независимые частные решения ЛОДУ(3').

Совокупность n линейно независимых частных решений ЛОДУ n-ого порядка называется его фундаментальной системой частных решений (далее – ФСЧР).

Линейная независимость функций ФСЧР проверяется через их вронскиан, который должен быть отличен от нуля:

.

Пример 2

Дано ДУ II порядка, линейное, однородное: . Найти его общее решение.

Решение

По теореме об общем решении линейных однородных уравнений II порядка имеем, что

,

где – произвольные постоянные, – это ФСЧР.

Покажем, что частными решениями данного ДУ являются функции .

Действительно,

- верно; - верно.

Проверяем линейную независимость и :

функции и являются линейно независимыми,

то есть образуют ФСЧР.

Составляем ответ: .

Для нахождения функций , образующих ФСЧР, нет универсального метода, чтобы он работал для любого ЛОДУ. Существует лишь метод для случая ЛОДУ с постоянными коэффициентами. На практике часто эти функции находят методом подбора из тех или иных интуитивных соображений.

Упражнения для самостоятельного решения.

Покажите, что данные функции образуют фундаментальную систему частных решений (ФСЧР) данного ЛОДУ, и запишите общее решение этого ДУ:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , , ;

Ответы к упражнениям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

§5.	Нахождение фундаментальной системы частных решений для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

(1)

где – числа (или const по ).

Это уравнение является частным случаем ЛОДУ ,

и известна формула для его общего решения (см. теорему предыдущего параграфа):

,

где – произвольные постоянные,

– ФСЧР, то есть система двух линейно независимых частных решений.

Будем искать частные решения и для ДУ(1) в виде экспоненты:

.

Поставив в ЛОДУ(1), получим:

(2)

Таким образом, чтобы функция удовлетворяла ЛОДУ(1), нужно, чтобы число k удовлетворяло уравнению (2), которое называется характеристическим уравнением для линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение (2) является квадратным уравнением относительно k (в общем случае – алгебраическим уравнением n-ной степени для ЛОДУ n-го порядка).

Рассмотрим все возможные случаи для корней характеристического уравнения (2).

1 случай: если – действительные различные корни, то имеем два частных решения ДУ(1) ;

это и есть ФСЧР, так как , потому что .

2 случай: если k₁ = k₂ – действительные равные корни, то имеем только одно частное решение ДУ(1). В этом случае ФСЧР можно взять в виде ,

так как, во-первых, функция удовлетворяет ДУ:

 0=0 является частным решением;

во-вторых, функции и линейно независимы: .

3 случай: если - это комплексно сопряженные корни, то можно показать, что ФСЧР может быть записана в виде .

Действительно, эти функции являются линейно независимыми, так как , и каждая из них удовлетворяет ДУ (1), что проверяется их подстановкой в дифференциальное уравнение.

Подставим в ДУ(1):



ДУ(1):

- ДУ удовлетворяется;

при этом равенство нулю обозначенных скобок следует из того, что числа являются корнями характеристического уравнения (2), поэтому

.

Таким образом, показано, что функция удовлетворяет ДУ (1), следовательно, является его частным решением.

Аналогично показывается, что функция тоже является частным решением ДУ (1) (показать самостоятельно).

По рассмотренным случаям для корней квадратного уравнения (2) можно сформулировать следующее правило, с помощью которого составляется ФСЧР и общее решение ЛОДУ(1).

Правило для составления фундаментальной системы частных решений и общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

– характеристическое уравнение - корни характеристического уравнения; 1) если - действительные различные корни, то ФСЧР: , ; 2) если - действительные равные корни, то ФСЧР: , ; 3) если - комплексно сопряженные корни, то ФСЧР: , .

Примеры

Записать общие решения следующих дифференциальных уравнений – линейных, однородных, с постоянными коэффициентами:

1) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:

- действительные различные корни

 ФСЧР:  ;

2) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:

- равные действительные корни

 ФСЧР: ;

3) - ЛОДУ II порядка,

его характеристическое уравнение:



- комплексно сопряженные корни, в которых

ФСЧР: 

;

4) - ЛОДУ IV порядка,

его характеристическое уравнение: ;

- действительные различные корни

- комплексно сопряженные корни, в которых ,

;

ФСЧР: , , ,

.

Упражнения для самостоятельного решения

Для каждого из заданных ЛОДУ с постоянными коэффициентами составьте ФСЧР и запишите общее решение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Ответы к упражнениям для самостоятельного решения:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , ;

5) , , , .

§6.	Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции частных решений

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

, где .

(1)

Соответствующее ему линейное однородное ДУ имеет вид

(2)

Теорема (об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения)

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения: , или (3)

Доказательство

Покажем, что функция удовлетворяет всем требованиям общего решения ЛНДУ (1), то есть:

а) удовлетворяет ДУ;

б) содержит нужное количество произвольных постоянных;

в) с помощью функции можно решить любую задачу Коши.

.	(3')
Так как – это общее решение ЛОДУ (2), то где - это ФСЧР ДУ (2), - произвольные постоянные.		(4)

Действительно, так как - это какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения, то оно удовлетворяет ЛНДУ (1) , то есть

Проверим для функции требования а), б), в):

а) подставим в дифференциальное уравнение (1):

- ДУ (1) удовлетворяется;

б) подставим в слагаемое :

и видим, что функция содержит нужные две произвольные постоянные ;

в) решим задачу Коши для дифференциального (1), поставив начальные условия:

;

эти начальные условия подставляем в функцию (3) с учётом равенства (4) для :

получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно чисел с главным определителем ,

так как и – это линейно независимые частные решения однородного ДУ, поэтому их вронскиан в любой точке ; по теореме Крамера заключаем, что система уравнений относительно имеет единственное решение при любых числах ,

поэтому любая задача Коши для ДУ(1) может быть решена.

Таким образом, функция удовлетворяет всем требованиям общего решения, следовательно, таковым и является, ч.т.п.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение второго порядка .

Решение

Так как уравнение является линейным неоднородным, то его общее решение записывается как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.

Находим , решив соответствующее однородное дифференциальное уравнение:

, где – это ФСЧР;

так как уравнение имеет постоянные коэффициенты, то фундаментальную систему его частных решений находим с помощью характеристического уравнения:

– комплексно сопряженные корни

ФСЧР: .

Универсальным методом для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ является метод вариации произвольных постоянных, который будет рассмотрен далее. В решаемой задаче ограничимся частным решением , найденным подбором:

.

Тогда записываем общее решение данного уравнения:

.

Доказанная в этом параграфе теорема справедлива для линейных неоднородных уравнений любого порядка, причем, уравнение не обязано иметь постоянные коэффициенты. Однако отработать на практике эту теорему есть возможность только для ЛНДУ с постоянными коэффициентами, так как только в этом случае вполне понятно, как находить общее решение соответствующего ЛОДУ.

Алгоритм решения линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами

.

1.	Найти как решение соответствующего однородного уравнения (с помощью характеристического уравнения).
2.	Найти одним из следующих двух методов: методом неопределенных коэффициентов (если правая часть ДУ имеет специальный вид); методом вариации произвольных постоянных (для любых правых частей ); метод неопределенных коэффициентов значительно проще, потому к методу вариации прибегают только в случае, когда нельзя работать с неопределенными коэффициентами.
3.	Записать общее решение: .
4.	Найти частное решение, если поставлена задача Коши.

Принцип суперпозиции частных решений ЛНДУ

Если в линейном неоднородном дифференциальном уравнении правая часть является суммой двух функций , то его частное решение ищется в виде суммы двух слагаемых ,

где	– это частное решение ДУ , – это частное решение ДУ .

Действительно, подставив функцию в ЛНДУ, получим:

;

используем правило дифференцирования суммы и перегруппируем слагаемые слева:

,

то есть ЛНДУ удовлетворяется, следовательно, функция является его частным решением, ч.т.д.

Упражнения для самостоятельного решения

Проверьте, что функция является частным решением данного ЛНДУ с постоянными коэффициентами, и запишите его общее решение:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;