2.3. Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Определение однородной функции двух переменных

Функция двух переменных называется однородной функцией степени однородности k, если выполняется равенство , где переменная принимает любые значения, кроме 0.

Пример 2

1)	­ это однородная функция степени однородности, так как ;
2)	 это однородная функция степени однородности, так как ;
3)	 это однородная функция степени однородности, так как .

Однородным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующий общий вид:

,

где и – однородные функции одинаковой степени однородности.

Каноническая форма однородного ДУ I порядка:

(2)

Отличительной особенностью ДУ(2) является то, что его правая часть зависит только от отношения искомой функции y к её аргументу x.

Ниже показан переход от однородного уравнения общего вида к его канонической форме.

Суть метода решения однородных ДУ:

при помощи замены однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Действительно, если заменить , то есть , то .

Подставим эту замену в ДУ(2):

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части (с добавлением const), приходим к общему интегралу однородного ДУ:

.

Пример 3

Решить однородное ДУ при условии :

Решение

Делим обе части данного уравнения на и этим приводим к его к канонической форме однородного ДУ: .

Подставляем и в ДУ: ;

получили ДУ с разделяющимися переменными относительно функции .

Разделяем переменные и интегрируем обе части с добавлением постоянной:

Выполнив обратную замену , приходим к общему интегралу исходного ДУ:

От общего интеграла переходим к общему решению, разрешая последнее равенство относительно :

Ответ: .

2.4. Линейные дифференциальные уравнения I порядка

(3)

Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующую каноническую форму:

Отличительной особенностью линейного ДУ является то, что искомая функция и её производная входят в уравнение линейным образом, то есть только в первых степенях и не перемножаются.

Метод решения линейных дифференциальных уравнений I порядка:

искомую функцию ищем в виде произведения двух функций

, тогда ;

при помощи такой замены линейное ДУ сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Действительно, заменим и в ДУ(3):

.

Теперь для двух функций и имеем только одно уравнение. Это означает, что можно подчинить эти функции дополнительному условию. Учитывая это, потребуем, чтобы функция удовлетворяла условию

;

(а)

тогда функция будет определяться уравнением

.

(б)

Оба уравнения (а) и (б) являются ДУ с разделяющимися переменными.

Решим ДУ (а) относительно функции :

,

где для удобства работы с постоянной положено ,

;

подберем так, чтобы , тогда получим частное решение ДУ (а):

.

Теперь с найденной функцией решаем уравнение (б) относительно функции :

– это общее решение ДУ (б).

Таким образом, обе функции и находятся как решение ДУ с разделяющимися переменными. Остаётся только лишь общее решение ДУ записать как их произведение . Метод решения линейных уравнений полностью обоснован.

Пример 4

Решить линейное ДУ I порядка .

Решение

Делением обеих частей данного уравнения на приводим его к каноническому виду линейного ДУ:

Положим , тогда

ДУ .

(*)

ДУ относительно :

– частное решение ДУ относительно .

Представляя в ДУ (*), получим ДУ относительно функции :



– это общее решение ДУ относительно .

Перемножением функций и находим общее решение исходного ДУ:

.

Ответ: .

2.5.	Дифференциальные уравнения Бернулли

Дифференциальным уравнением Бернулли, или обобщенным линейным ДУ I порядка называется ДУ, имеющие следующую каноническую форму:

(4)

если , то это линейное ДУ;

если , то это ДУ с разделяющимися переменными.

Метод решения дифференциального уравнения Бернулли:

заменой дифференциальное уравнение Бернулли сводится к двум ДУ с разделяющимися переменными.

Обоснование метода проводится аналогично тому, как это было сделано для линейного ДУ.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения Бернулли

, .

Решение

Искомую функцию ищем в виде произведения двух функций:

.

Тогда ДУ

(*)

ДУ для :

.

ДУ для :

.

Общее решение исходного ДУ: .

Теперь используем начальное условие .

Подставляя значения и в общее решение, получим уравнение для определения : .

Возвращаем найденное значение в общее решение и получаем частное решение ДУ, соответствующее поставленному начальному условию (решение задачи Коши):

.

Ответ: .

Упражнения для самостоятельной работы

Решите следующие ДУ первого порядка и запишите название ответа:

1) 2)

3) 4)

5)

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. - общее решение;

2. - частное решение;

3. - общий интеграл;

4. - общее решение;

5. - частный интеграл.

§3.	Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка