3.1. Общие сведения

К дифференциальным уравнениям высших порядков относятся обыкновенные ДУ, порядок которых больше единицы. Обычно их изучают на примере ДУ второго порядка.

Общий вид ДУ -го порядка:

, где

(1)

Каноническая форма ДУ -го порядка:

(2)

Решением ДУ является любая функция , удовлетворяющая ДУ (1) или (2).

Общее решение – это решение, зависящее от n произвольных постоянных:

, где – произвольные постоянные.

Частное решение получается из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных:

, где - фиксированные числа.

Задача Коши: найти частное решение ДУ (1) или (2), удовлетворяющее n начальным условиям

,

(3)

где - это заданные числа.

Общий вид ДУ второго порядка:	(1')
каноническая форма:	(2')

общее решение:

частное решение:

задача Коши: найти частное решение ДУ второго порядка, удовлетворяющее двум начальным условиям

,

(3')

где – это заданные числа;

возможная другая запись начальных условий: , .

3.2.	Основные типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка, методы их решения.

Будем рассматривать следующие три типа ду, допускающих понижение порядка.

1. Простейшие ДУ n-го порядка:

(4)

Решаются - кратным интегрированием.

2. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно искомую функцию :

.

(5)

Метод решения: замена ;

ДУ (5) – получилось ДУ I порядка относительно функции .

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие явно независимую переменную :

(6)

Метод решения: замена , то есть ;

тогда ДУ(6) - получилось ДУ I порядка, в котором – это независимая переменная, – искомая функция.

Пример 1

Найти частное решение ДУ , , .

Решение

Данное уравнение является простейшим ДУ третьего порядка, решаем его трехкратным интегрированием:

1) так как по определению третьей производной имеем, что , то

;

найдем из условия : ;

2) теперь в подставим и используем определение второй производной: 

;

найдем из условия : ;

3) подставив в , заменим :

;

найдем из условия : .

Получили решение задачи Коши, причем, без нахождения общего решения: .

Ответ: .

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Данное ДУ второго порядка не содержит в явном виде искомую функцию , поэтому допускает понижение порядка, как ДУ вида (5).

Заменим: .

Исходное ДУ

- это линейное ДУ I порядка относительно функции .

Сделаем еще одну замену, рекомендуемую для линейных ДУ I порядка:

, тогда

.

ДУ относительно :

.

ДУ относительно : .

Общее решение ДУ I порядка: .

Возвращаемся к искомой функции . Так как , то получили, что  это дифференциальное уравнение I порядка относительно функции , оно с разделяющимися переменными, решаем его: – это общее решение исходного ДУ.

Проверка:

Решение любого ДУ можно подтвердить проверкой. Сделаем это в решаемой задаче.

подставляем в исходное ДУ:

- верно,

следовательно, общее решение найдено правильно.

Ответ: .

Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

Данное ДУ II порядка не содержит независимую переменную в явном виде, поэтому допускает понижение порядка, как ДУ вида (6).

Сделаем замену: .

Здесь при пересчете второй производной использовано правило дифференцирования сложной функции:

.

Исходное ДУ – получили ДУ I порядка относительно функции ;

его решение:

а) – это первая часть общего решения исходного ДУ;

б)



.

Возвращаемся к функции , помня, что : – это ДУ I порядка относительно функции , оно с разделяющимися переменными, решаем его:

- это вторая часть общего решения исходного ДУ.

Объединяем обе части общего решения:

первая часть получается из второй, если положить ; поэтому вторая часть включает в себя первую, то есть является их объединением.

Ответ: .

Упражнения для самостоятельного решения

Решить следующие ДУ, записать название ответа:

1)

2)

3)

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1) - общее решение;

2) - частное решение;

3)

§4.	Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений, теорема об общем решении