4.1 Общие определения

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется ДУ, в которое неизвестная функция и все её производные входят линейно, то есть только в первых степенях и не перемножаются.

Общий вид линейного ДУ n-го порядка относительно функции :

		(1)
Здесь	-коэффициенты линейного ДУ (непрерывные функции от x), ; - правая часть линейного ДУ; - коэффициент при старшей производной отличен от нуля.

Линейное ДУ(1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением

(ЛОДУ), если его правая часть равна нулю, то есть функция .

Общий вид линейного однородного ДУ n-го порядка:

(2)

Линейное ДУ(1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), если его правая часть есть отличная от нуля функция, то есть .

Говорят, что линейное однородное дифференциальное уравнение (2) сопутствует, или сопровождает, или соответствует линейному неоднородному дифференциальному уравнению (1).

Если в ДУ(1) все коэффициенты являются постоянными числами, то ДУ(1) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (однородным или неоднородным).

Общность не нарушается, если изучение линейных ДУ и методов их решения рассмотреть на примере линейных ДУ II порядка:

Каноническая форма линейных ДУ второго порядка:

(1')

В частности, для ДУ(1') с постоянными коэффициентами функции и будут постоянными числами.

4.2 Основные свойства решений линейных однородных ду

Будем рассматривать ЛОДУ второго порядка

(3)

Свойство 1 (о линейной комбинации частных решений)

Если и – какие-нибудь частные решения ЛОДУ (3), то их линейная комбинация , где с₁ и с₂ – произвольные постоянные, также является решением того же ДУ.

Доказательство

Пусть – частные решения ДУ (3). Подставив их в ДУ получим тождества по x:

(используем свойство линейности операции дифференцирования)

функция тождественно удовлетворяет исходному ДУ (3), следовательно, является его решением, ч.т.д.

Свойство 2 ( о вронскиане частных решений)

Вронскианом, или определителем Вронского двух частных решений и линейного дифференциального уравнения (3) называется такой функциональный определитель:

(4)

Можно вывести выражение вронскиана через коэффициенты ДУ (3).

Действительно, пусть , – это решения ДУ (3)



 ,

то есть вронскиан удовлетворяет ДУ I порядка с разделяющимися переменными

Вместо неопределенного интеграла напишем интеграл с переменным верхним пределом, чтобы подчеркнуть, что произвольные константы интегрирования отделены от функциональной части. Тогда получим общее решение ДУ относительно W(x):

Поставим начальное условие:

Окончательно получаем выражение через коэффициенты ДУ (3) с помощью формулы Остроградского-Лиувилля:

(5)

Из этой формулы следуют два важных свойства вронскиана:

1)	вронскиан частных решений либо равен нулю тождественно, то есть при всех , либо не равен нулю никогда;
2)	чтобы проверить равенство нулю определителя Вронского, достаточно это сделать в какой-нибудь одной точке .

Эти свойства легко объяснить формулой (5), так как в ней показательная функция принимает только положительные значения, следовательно, равенство нулю вронскиана W(x) в любой точке x происходит или не происходит одновременно с его равенством нулю в точке x₀.

Свойство 3 (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)

Функции и называются

	линейно зависимыми, если их отношение равно постоянной величине по ;
	линейно независимыми, если их отношение есть функция, отличная от постоянной.

Пример 1

1) при любом x≠0 y₁ и y₂ – линейно зависимы;

2) y₁ и y₂ – линейно независимы.

Теорема (о связи линейной независимости частных решений с их вронскианом)

Если и – частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3),то для их линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих частных решений был отличен от нуля.

Доказательство

Из определения вронскиана (4) и формулы Остроградского - Лиувилля (5) имеем, что

(*)

Необходимость:

дано, что и –линейно независимые частные решения ДУ (3)

по свойству вронскиана.

Достаточность:

дано, что при любых

и линейно независимы.

Теорема доказана.

Теорема (об общем решении линейного однородного ДУ)

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (3) является линейная комбинация его двух линейно независимых частных решений: (6) Здесь – произвольные постоянные, – линейно независимые частные решения ЛОДУ (3).

Доказательство

Чтобы доказать, что некоторая функция является общим решением ДУ, нужно показать, что она удовлетворяет следующим требованиям:

• она является решением ДУ, то есть просто удовлетворяет этому ДУ (для функции (6) это выполняется по свойству 1 частных решений ЛОДУ);

• эта функция должна содержать нужное количество произвольных постоянных, совпадающее с порядком ДУ(функция (6) содержит 2 произвольные постоянные, нужные в общем решении ДУ II порядка);

• эта функция должна позволять найти решение любой задачи Коши, поставленной для данного ДУ.

Покажем, что функцией (6) можно удовлетворить последнему требованию.

Начальные условия для ДУ (3): , где – заданные числа.

Подставляем эти начальные условия в функцию (6):

Получилась система двух линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и . По теореме Крамера, разрешимость этой системы зависит от ее главного определителя, который совпадает с определителем Вронского частных решений y₁ и y₂:

и по линейной независимости и и свойствам вронскиана ( , - линейно независимы  для ).

Следовательно, система уравнений относительно и имеет единственное решение при всех . Значит, любая задача Коши функцией (6) может быть решена.

Таким образом, все требования общего решения для функции (6) выполнены, поэтому функция (6) действительно является общим решением ЛОДУ(3), ч.т.д.