§7. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ЛНДУ - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

(1)

Его общее решение: -- по теореме об общем решении ЛНДУ.

Здесь – это общее решение соответствующего однородного уравнения с постоянными коэффициентами, которое находится по корням характеристического уравнения:

– корни характеристического уравнения.

Теперь ставим задачу нахождения – какого-нибудь частного решения ЛНДУ(1).

Говорят, что правая часть f(x) ДУ (1) имеет специальный вид, если она представлена следующей формулой:

,

(2)

где , - целые многочлены степени и .

Ниже приведены примеры различных функций вида (2):

Будем рассматривать метод нахождения для двух наиболее простых частных случаев функции (2). Можно показать, что для любого ЛНДУ (1) в этих случаях можно найти по следующими двум правилам.

Правило 1 (о нахождении частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и с правой частью первого специального вида)

Если правая часть ДУ (1) имеет следующий вид: - первый специальный вид, то - в случае и ; - в случае и ; - в случае . Здесь – это многочлен той же степени n, что и , взятый в самом общем виде с неопределенными коэффициентами: Неопределенные коэффициенты А, В, С, D,… находятся из условия, что тождественно удовлетворяет исходному неоднородному ДУ (1)

Пример 1

Найти общее решение ДУ - линейного, неоднородного, с постоянными коэффициентами.

Решение

.

Находим : хар. уравнение - действ. различ. корни

 ФСЧР: .

Находим . Анализируем правую часть неоднородного ДУ:

-- подходит под первый специальный вид, причем совпадает с одним из корней характеристического уравнения.

По правилу 1 записываем вид частного решения : .

Неопределенные коэффициенты А и В находим из условия, что составленное удовлетворяет тождественно исходному неоднородному ДУ.

Нахождение ', '' и подстановку в исходное ДУ удобно осуществлять по следующей схеме:

Пояснения к схеме:

1) при выполнении дифференцирования в этой задаче полезно пользоваться несложным частным алгоритмом:

;

2) слева от вертикальной черты в указанной схеме проставлены коэффициенты, с которыми , и входят в исходное ЛНДУ;

3) подстановка , , в ЛНДУ проводится с одновременным приведением подобных слагаемых, которые выделены одинаковым подчеркиванием.

Таким образом, в результате подстановки функции в исходное ЛНДУ получаем равенство, которое должно выполняться при любых x (то есть тождество):

;

поделив обе части равенства на , получаем тождественное равенство двух многочленов первой степени:

;

тождественное равенство многочленов означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях х, поэтому приравниваем этих коэффициентов получаем систему уравнений для нахождения и :

Найденные коэффициенты А и В подставляем в и получаем, что

.

Проверка обязательна и выполняется по той же схеме:

результат подстановки в левую часть ДУ совпадает с , следовательно, найдено верно.

Далее складываем и получаем общее решение данного в задаче ЛНДУ.

Ответ: .

Пример 2

Найти частное решение ДУ .

Решение

Так как имеем ЛНДУ, то его общее решение имеет форму .

Находим  общее решение соответствующего ЛОДУ: , где , - это ФСЧР, , - произвольные постоянные;

так как ЛОДУ имеет постоянные коэффициенты, то ФСЧР можно найти с помощью характеристического уравнения:

- равные действительные корни

.

Находим - какое-нибудь частное решение ЛНДУ:

- подходит под первый специальный вид, в котором ;

по правилу 1 записываем вид частного решения ;

неопределенные коэффициенты A, B, C находим из условия, что удовлетворяет исходному неоднородному ДУ;

дифференцирование и подстановку его в ДУ осуществляем по схеме, учитывая при этом, что :

далее разделим обе части равенства на и получим тождественное равенство двух многочленов, которое означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях :

коэффициенты при ;

коэффициенты при ;

коэффициенты при ;

таким образом, .

Проверка :

1
2
1

– верно.

Составляем общее решение исходного ДУ:

.

Решаем задачу Коши, удовлетворяя общим решением поставленным начальным условиям:

;

.

Подставляем вычисленные значения постоянных и в общее решение и получаем частное решение исходного ДУ, соответствующее поставленным начальным условиям:

.

Для ответа выполняем группировку слагаемых и упрощение коэффициентов.

Ответ: .

Правило 2 (о нахождении частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами и с правой частью второго специального вида)

Если правая часть ЛНДУ(1) имеет следующий вид: – второй специальный вид, то Неопределенные коэффициенты А, В находятся из условия, что тождественно удовлетворяет исходному неоднородному ДУ (1)

Пример 3

Найти частное решение ДУ , , .

Решение

Находим : хар. ур-ие - компл. сопряженные

ФСЧР:

.

Находим . Анализируем правую часть неоднородного ДУ:

– подходит под второй специальный вид, в котором

α =1 и β = 2 .

По правилу 2 составляем вид частного решения : .

Неопределенные коэффициенты А и В находим из условия, что составленное удовлетворяет исходному неоднородному ДУ.

Нахождение ', '' и подстановку в исходное ДУ осуществляем по схеме:

.

Используем тождественное равенство тригонометрических выражений:

Приравниваем коэффициенты при и и вычисляем коэффициенты А и В:

Итак, получено .

Проверка:

 результат подстановки в левую часть исходного ДУ совпадает с , следовательно найдено верно.

Записываем общее решение неоднородного уравнения:

.

Задача Коши: .

;

.

Подставив найденные значения с₁ и с₂ в общее решение, получаем частное решение, соответствующее поставленным начальным условиям:

Ответ: .

Замечания

1. В общем случае линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и правой части специального общего вида (2) частное решение ищется в следующем виде:

.

Здесь – большая из степеней многочленов и ;

-- целые многочлены степени k, взятые в самом общем виде с неопределенными коэффициентами;

r – это кратность чисел (α±iβ) как корней характеристического уравнения

(r = 0 – не являются корнями, r=1 – простые корни, r=2 – двукратные корни и т.д.).

2. Принцип суперпозиции (наложения) частных решений ЛНДУ позволяет расширить возможности работы по сформулированным правилам 1 и 2.

Пример 4

Найти общее решение ЛНДУ

Решение

Находим : .

Находим :

,

где – подходит под второй специальный вид,

– подходит под первый специальный вид.

По принципу наложения частных решений составляем исходного уравнения , где

удовлетворяет ДУ , удовлетворяет ДУ .

Находим :

- второй специальный вид, в котором ;

по правилу 2 составляем

и находим коеффициенты А и В:

таким образом, ;

проверка :

ДУ: – верно.

Находим :

– первый специальный вид, в котором ;

по правилу 1 составляем и находим коэффициенты и :

;

ДУ: .

Ответ: .

Упражнения для самостоятельного решения

Решите следующие дифференциальные уравнения:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , , ;

5) .

Ответы к упражнениям для самостоятельного решения

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .