Основные обозначения

Отдельные объекты, из которых состоит множество называются элементами множества. Общим обозначением множества служит пара фигурных скобок { }.

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества - бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно.

Для обозначения конкретных множеств используются различные прописные буквы A, S, X ... или прописные буквы с индексами A₁, A₂. Для обозначения элементов множества в общем виде используются различные строчные буквы a, s, x ... или строчные буквы с индексами a₁, a₂ ...

Пример:

A = { a, b, c}

Это обозначает, что множество А состоит из элементов a, b, c.

Для указания того, что некоторый элемент а является элементом множества S, используется символ  принадлежности множеству.

Пример:

a  S

Это означает, что элемент a принадлежит множеству S

x  S

Это означает, что элемент x не принадлежит множеству S

Для того чтобы оперировать с конкретными множествами, нужно уметь их задавать.

Существует два способа задания множеств: перечисление и описание. Задание множеств способом перечисления соответствует перечислению всех элементов, составляющих множество. Так, множество отличников группы можно задать, перечислив курсантов, которые учаться на отлично, например { Иванов, Петров, Сидоров}. Для сокращения записи X={x₁, x₂, ...,x_n } иногда пишут X={x_i}₁ⁿ или вводят множество индексов I={1, 2, ..., n} и пишут X={x_i}, i  I. Такой способ удобен при рассмотрении конечных множеств, но иногда он может применяться и для задания бесконечных множеств, например {2, 4, 6, 8 ...}. Естественно, что такая запись применима, если вполне ясно, что понимается под многочленом.

Описательный способ задания множества состоит в том, что указывается характерное свойство, которым обладают все элементы множества. Так, если M - множество курсантов группы, то множество А отличников этой группы запишется в виде

А={xM | x - отличник группы},

что читается следующим образом: множество А состоит из элементов х множества М, обладающих тем свойством, что х является отличником группы.

В тех случаях, когда не вызывает сомнений, из какого множества берутся элементы х, указание о принадлежности х множеству М можно не делать. При этом множество А запишется в виде

А={x | x - отличник группы},

Примеры

{x | x - четное } - множество четных чисел;

{x | x² - 1 = } - множество { +1, -1 }.

Пусть С - множество целых чисел. Тогда

{xC | 0 < x  7 } есть множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Важным понятием теории множеств является понятие пустого множества. Пустым множеством называют множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество обозначается 

Пример { x C | x² - x + 1 = 0 } = 

Понятие пустого множества играет важную роль при задании множеств с помощью описания. Так без понятия пустого множества мы не могли бы говорить о множестве отличников группы или множестве вещественных корней квадратного уравнения, не убедившись предварительно, есть ли вообще в данной группе отличники или имеет ли данное уравнение вещественные корни. Введение пустого множества позволяет совершенно спокойно оперировать с множеством отличников группы, не заботясь о том, есть или нет в рассматриваемой группе отличники. Пустое множество будем условно относить к конечным множествам.

Равенство множеств. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т.е. представляют собой одно и то же множество. Множество X и Y не равны (Х  Y), если либо в множестве Х есть элементы не принадлежащие Y, либо в множестве Y есть элементы, не принадлежащие Х. Символ равенства множеств обладает свойствами:

Х = Х - рефлексивность;

если Х = Y, то Y = X - симметричность

если Х = Y и Y = Z, то Х = Z - транзитивность.

Из определения равенства множеств вытекает, что порядок элементов в множестве несущественен. Так, например, множества {3, 4, 5, 6} и {4, 5, 6, 3} представляют собой одно и то же множество.

Из определения множества следует, что в нем е должно быть неразличимых элементов. Поэтому в множестве не может быть одинаковых элементов. Запись {2, 2, 3, 5} следует рассматривать как некорректную и заменить ее на {2, 3, 5}.