Правила дифференцирования функций.

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

1. (U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

2. (U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

3. (C*U(x))` = CU`(x), C - const

4. (U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Таблица производных.

1. C` = 0, C – const.

2. x` = 1

3. (x^α)` = α x^{α – 1}, α Є R

4. (a^x)` = a^x lnx, a>0 , a≠1

5. (ln x)` = 1/x

6. (sin x)` = cos x

7. (cos x)` = - sin x

8. (tg x)` = 1/(cos x)²

9. (ctg x)` = - 1/(sin x)²

10. (arcsin x)` = 1/ ²)

11. (arccos x)` = - 1/ ²)

12. (arctg x)` = 1/(1 + x²)

13. (arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]

Интеграл. Действие обратное дифференцированию, называется интегрированием.

Если F(x) - одна из первообразных для функции f(x), то выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл от функции обозначается символом

читается: «неопределенный интеграл f(x) на dx» и пишется

где f(x) - подынтегральная функция;

f(x)dx - подынтегральное выражение;

x - переменная интегрирования;

- символ (знак неопределенного интеграла).

Например, где является одной из первообразных от функции .

Геометрическое понимание интеграла состоит в следующем: как известно, значение производной в точке есть тангенс угла наклона касательной. Поэтому найти для функции f(x) первообразную, значит, найти такую функцию F(x), касательная к графику которой в точке х имеет тангенс угла наклона f(х).

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Пример: , , ,

Основные свойства интеграла.

1. ( (f(x)dx)` = f(x). Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. d( f(x)dx) = f(x)dx.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

d(F(x)) = F(x) + C.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, где к - число

5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

(f(x) +φ(x))dx = f(x)dx + φ(x)dx.

Для вычисления неопределенных интегралов от функций используют таблицу неопределенных интегралов, которая приводиться ниже.

Таблица интегралов.

1. х^α dx = [x^α+1 / (α +1)] +C, α ≠ -1, α Є R

2. dx/x = ln│x│+C

3. a^x = (a^x/ln a)+C, e^xdx = e^x+C

4. sinx dx = -cosx + C

5. cosx dx = sinx + C

6. dx/(cosx)² = tgx + C

7. dx/(sinx)² = -ctgx + C

8. dx / ²-x²) = (arcsin x/a) + C

9. dx / ² – x²) = (-arccos x/a) +C

10. dx / a² +x² = 1/a arctg x/a +C

11. dx / a² +x² = - 1/a arcctg x/a +C

12. dx / a² -x² = 1/2a ln │x+a/x-a│ +C

13. dx / a² +x²) = ln │x+ ²+x²)│ +C.

9. Множества и подмножества

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах.

Во многих вопросах приходится рассматривать некоторую совокупность элементов как единое целое. Так, биолог, изучая животный мир и растительный мир данной области, классифицирует все особи по видам, виды по родам и т.д.. Каждый вид является некоторой совокупностью живых существ, рассматриваемой как единое целое.

Для математического описания таких совокупностей и было введено понятие множества. По словам одного из создателей теории множеств -немецкого математика Георга Кантора (1845-1918), «множество есть многое, мыслимое нами как единое». Разумеется, эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует, поскольку понятие множества является исходным, на основе которого строятся остальные понятия математика. Но из этих слов ясно, что можно говорить о множестве натуральных чисел, множестве треугольников на плоскости.