6. Уравнения и неравенства

Математические записи зависимостей между неизвестными и известными величинами называются уравнениями.

Различают уравнения по нескольким признакам, в том числе:

- по числу неизвестных - на уравнения с одним, двумя, тремя и т.д. неизвестными;

- по значениям показателей степени, в которых фигурируют неизвестные, - на уравнения первого порядка или линейные, квадратные, кубические, четвертой степени («биквадратные») и т.д.;

- по характеру представления неизвестных величин - на алгебраические, для решения которых достаточно использовать средства алгебры, тригонометрические, решаемые средствами тригонометрии, дифференциальные, к решению которых необходимо применять методы дифференциального исчисления, и др.

Выражение y = f (x) представляет собой математическую запись зависимости значений переменной y от x, характеризуемую условным обозначением «f» и читается так: «игрек равно эф от икс», или «игрек функция от х». Здесь х именуется аргументом или независимой переменной.

Уравнение с одной переменной, если все его члены находятся в левой части, а в правой части - нуль, может быть записано в общем виде в форме f(x) = 0, с двумя переменными f(x, y) = 0, с тремя - f(x, y, z) = 0 и т.д. Запись «y = f(x)» представляет собой отображение результата решения относительно y уравнения с двумя неизвестными х и у. Конкретный смысл вида функции f при этом не раскрывается.

Составить уравнение - это значит выразить в математической форме связь между искомыми и известными величинами.

Системы линейных уравнений Систему m линейных уравнений с n неизвестными будем записывать в следующем виде:

Здесь x₁, x₂, , x_n – неизвестные величины, a_ij (i = 1,2, , m; j =1, 2, , n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый индекс фиксирует номер уравнения, второй — номер неизвестной), b₁, b₂, , b_m –числа, называемые свободными членами.

Решением системы будем называть упорядоченный набор чисел x₁, x₂, , x_n, обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

Система, имеющая решение, называется совместной.

Если система имеет только одно решение, то она называется определенной. Система, имеющая более чем одно решение, называется неопределенной (совместной и неопределенной).

Если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Система, у которой все свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ == b_n = 0), называется однородной. Однородная система всегда совместна, так как набор из n нулей удовлетворяет любому уравнению такой системы.

Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных (m=n), то система называется квадратной.

Две системы, множества решений которых совпадают, называются эквивалентными или равносильными (совпадение множеств решений означает, что каждое решение первой системы является решением второй системы, и каждое решение второй системы является решением первой).

Две несовместные системы считаются эквивалентными.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.