Понятие подмножества
Множество Х является подмножеством Y, если любой элемент множества Х принадлежит и множеству Y. Пусть Y - множество курсантов группы, а Х - множество отличников той же группы. Так как каждый отличник группы является в то же время курсантом этой группы, то множество Х является подмножеством множества Y.
Многие определения теории множеств удобно давать в виде математических выражений, содержащих некоторые логические символы. Для определения подмножества используем два таких символа.
- символ, называемый квантор и означающий любой, каков бы ни был, «для всех»;
- символ следствия (импликации), означающий «влечет за собой».
Пример
x [ x X x Y ]
Это соответствует следующему определению подмножества: для любого х утверждение «х принадлежит Х» влечет за собой утверждение «х принадлежит Y»
Более краткой записью выражения «X является подмножеством Y» будет запись
X Y
Это читается как « Y содержит Х ». Символ означает включение. Если же Y содержит и другие элементы, кроме элементов из Х, то используется символ строгого включения
X Y
Свойства подмножеств
X X ( рефлексивность);
[X Y и Y Z ] X Z (транзитивность)
Несколько труднее видеть, что для любого множества М
М
Действительно, пустое множество не содержит элементов. Следовательно, добавляя к М пустое множество, мы фактически ничего не добавляем. Поэтому всегда можно считать, что любое множество М содержит в себе пустое множество в качестве подмножества.
10. Операции над множествами
Над множествами можно производит действия, которые в многом напоминают действия сложения и умножения в элементарной алгебре.
Пусть a и b - некоторые числа, a + b - их сумма и ab - их произведение. Сумма и произведение чисел обладают следующими свойствами, называемыми законами алгебры:
a + b = b + a; ab = ba - коммутативный или переместительный закон;
(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc) - ассоциативный или сочетательный закон;
( a + b)c = ac + bc - дистрибутивный или распределительный закон.
Объединение множеств
Объединением
множеств X
и Y
называют множества, состоящее из всех
тех и только тех элементов, которые
принадлежат хотя бы одному из множеств
X,
Y,
т.е. принадлежат множеству Х или множеству
Y.
Объединение Х и Y
обозначается через
.
Формальное определение
Объединение множеств иногда называют суммой множеств и обозначают X + Y. Однако свойства объединения множеств несколько отличаются от свойств суммы при обычном арифметическом понимании, поэтому этим термином мы пользоваться не будем.
Для объединения множеств справедливы коммутативный и ассоциативный законы
справедливость которых вытекает из того, что левая и правая части равенств вытекает из того, что левая и правая часть равенства состоит из одних и тех же элементов.
Это
также очевидное соотношение, т.к. пустое
множество не содержит элементов, а
значит,
состоят из одних и тех же элементов.
Пустое множество
играет роль нуля в алгебре множеств.
Здесь имеет место аналогия с выражением
а + 0 = а в обычной алгебре.