18. Прямая в пространстве. Способы ее задания. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

18¹. Прямая в пространстве.

Прямая может быть задана пересечением двух плоскостей:

(1)

если нормальные вектора этих плоскостей не коллинеарны.

18². Способы ее задания.

В зависимости от способа задания прямой в пространстве можно рассматривать различные ее уравнения.

Если известны вектор , коллинеарный прямой и точка , принадлежащая прямой, то прямая определяется параметрическими уравнениями:

(2)

Здесь – параметр.

Параметрические уравнения прямой (2) можно преобразовать к виду

. (3)

Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой.

Из уравнения (3) получаем уравнение прямой, проходящей через две точки и :

. (3^/)

18³. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Условие параллельности прямых (1) совпадает с условием коллинеарности векторов и . Следовательно, имеет вид

. (3)

Условие перпендикулярности прямых (1) равносильно условию перпендикулярности их направляющих векторов и :

. (4)

Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых, заданных их каноническими уравнениями, в одной плоскости (условие компланарности двух прямых), имеет вид

. (5)

Если величины не пропорциональны величинам , то условие (5) является необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых в пространстве.

18⁴. Угол между двумя прямыми.

Пусть в пространстве две прямые заданы их каноническими уравнениями:

, . (1)

Углом между двумя прямыми считают один из двух смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу между направляющими векторами и данных прямых. Поэтому

. (2)

19. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

19¹. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть дана прямая, заданная каноническими уравнениями

(1)

и плоскость

. (2)

У глом между прямой и плоскостью считают острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (рис.1).

Этот угол определяется равенством

.

19². Взаимное расположение прямой и плоскости.

Прямая (1) параллельна плоскости (2) тогда и только тогда, когда направляющий вектор этой прямой перпендикулярен нормальному вектору данной плоскости.

Отсюда получаем условие параллельности прямой (1) и плоскости (2):

.

Прямая (1) перпендикулярна плоскости (2) в том и только том случае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, что равносильно следующему равенству:

.

Найдем теперь условия, при которых прямая (1) принадлежит плоскости (2). Это будет тогда и только тогда, когда одновременно будут выполняться два равенства:

(3)

где первое из равенств (3) означает, что точка , через которую проходит прямая (1), принадлежит плоскости (2), а второе равенство из (3) выражает условие параллельности прямой (1) и плоскости (2).