Тогда, используя свойство 4, а затем 3, будем иметь

7) Пусть каждый элемент i-го столбца или j-ой строки определителя есть сумма двух чисел. Тогда равен сумме двух определителей, из которых один в i-ом столбце (j-ой строке) имеет первые слагаемые, а другой – вторые слагаемые суммы; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Пример.

.

8) Определитель 3-го порядка не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель .

Доказательство. Прибавим, например, к элементам первой строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на одно и то же число  . Тогда, по свойству 7, а затем по свойству 6, будем иметь

9) Для каждого определителя 3-го порядка , имеет место разложение по строке:

, (2)

или по столбцу:

. (3)

Отметим, что при формула (2) превращается в формулу (1).

Отметим, что равенства (2), (3) называются формулами Лапласа и они широко используются при вычислении определителей. Особенно полезно использовать разложение по тем столбцам (или строкам) определителя, многие элементы которых равны нулю.

3. Обратная матрица и ее построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

3¹. Обратная матрица и ее построение.

Пусть матрица А n≥1, если для матрицы А существует такая матрица А^-1, что произведение А А^-1= А^-1А=Е, то матрица А^-1 называется матрицей обратной для матрицы А.Обратная матрица существует для матрицы А тогда и только тогда, когда матрица А невырождена (определитель не равен нулю)

Обратная матрица определяется посредством равенства

. (5)

Свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1) умножение столбца (строки) матрицы на число, не равное нулю;

2) прибавление к одному столбцу (строке) матрицы другого столбца (строки), умноженного на произвольное число, не равное нулю;

3) перестановка местами двух столбцов (строк) матрицы.

Если матрица получена из матрицы с помощью элементарных преобразований, то будем говорить «матрица А эквивалента матрице В» и писать .

Очевидно, что если и , то .

Для построения обратной матрицы можно использовать следующие алгоритмы.

1)Приписать к матрице единичную снизу через черту, располагая их одну под другой. Используя элементарные преобразования только столбцов, привести построенную матрицу к виду, когда над чертой будет стоять единичная матрица. Тогда матрица, полученная под чертой, будет матрицей .

2)Приписать к матрице А справа через черту единичную матрицу, используя элементарные преобразования только строк, привести построенную матрицу к виду, когда на месте матрицы будет стоять единичная матрица, тогда справа от черты получим матрицу .

3². Теорема существования и единственности обратной матрицы.

Теорема (единственности существования обратной матрицы): Если у матрицы   существует обратная матрица   , то она единственна.

Пусть существует  матрица  , для которой   и матрица  , для которой  .

Тогда  , то есть  . Умножим обе части равенства на матрицу  , получим  , где   и  .

Значит,  , что и требовалось доказать.

3³. Матричный метод решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим частный случай системы линейных алгебраических уравнений, когда число уравнений равно числу неизвестных:

(1)

Определителем системы назовем определитель ее матрицы.

Пусть . В этом случае система (1) называется невырожденной и ее решение можно найти по формуле

(2)

В формуле (2) заключается метод обратной матрицы решения невырожденной системы вида (1).