Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Дифференциал этой функции который также называется ее первым дифференциалом, зависит от двух переменных и

Пусть функция , в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке . Тогда дифференциал в этой точке функции , рассматриваемой как функция только от (т.е. при некотором фиксированном ), если для его обозначения использовать символ имеет вид

Значение дифференциала , т.е. дифференциала от первого дифференциала, в некоторой точке при называется вторым дифференциалом функции в этой точке и обозначается через , т.е.

(1)

При записи степени дифференциала аргумента принято опускать скобки (в частности, вместо будем писать ).

Подобным же образом, в том случае, когда производная -го порядка дифференцируема в точке , определяется дифференциал -го порядка функции в точке как дифференциал от дифференциала -го порядка , в котором :

.

Имеет место формула:

. (2)

Отсюда получаем другую запись для n-ой производной:

. (3)

45. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.

45¹. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Дифференциал функции. Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда приращение функции в этой точке может быть записано по формуле (1), где . Так как является бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению c (при условии, что ), то . Поэтому первое слагаемое является главной частью приращения , линейной относительно .

Главная часть приращения функции в точке x, линейная относительно , называется дифференциалом функции в этой точке. Для обозначения дифференциала используется обозначение , а поскольку , то

. (2)

Если , то не является, вообще говоря, главной частью приращения . В этом случае, по определениюполагают .

Геометрический смысл дифференциала. Для выяснения геометрического смысла дифференциала проведем к графику функции в точке касательную МТ (рис.1) и обозначим через угол ее наклона к положительному направлению оси .

П оскольку , то . Поэтому из треугольника MLN следует, что дифференциал dy есть приращение ординаты точки касания, соответствующее приращению аргумента .

Из обозначения производной функции или видно, что производная функции равна отношению дифференциала этой функции к дифференциалу аргумента.

45². Применение дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть имеет место формула (1.1). Перейдем от нее к приближенной формуле или . Тогда , откуда

. (1)

Формула (1) позволяет вычислить приближенное значение функции, соответствующее приращенному значению аргумента, если известно ее значение в некоторой точке и значение производной в этой точке, когда приращение аргумента является достаточно малым.

45³. Инвариантность формы первого дифференциала.

Форма записи дифференциала не зависит от того, является аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала.

45⁴. Непрерывность дифференцируемой функции.

Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция fнепрерывна на (a, b).