9. Скалярное произведение векторов. Условие перпендикулярности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения векторов.

9¹. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

(1)

где – угол между векторами и (рис. 1).

Скалярное произведение обозначают символом , или , или .

Свойства скалярного произведения векторов:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность, ;

3) – дистрибутивность;

4) .

9². Условие перпендикулярности двух векторов.

Свойство 5). Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

9³. Механический смысл скалярного произведения векторов.

И з физики известно, что работа А, совершаемая силой при перемещении , равна произведению составляющей силы , направленной по прямой перемещения, на величину перемещения. Поэтому (рис.2)

Перпендикулярная перемещению составляющая силы компенсируется сопротивлением.

Таким образом, скалярное произведение двух векторов численно равно работе некоторой силы при перемещению тела под действием этой силы.

10. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов. Физический смысл векторного произведения векторов. Условие коллинеарности векторов.

10¹. Ориентация тройки векторов в пространстве.

Тройку векторов называют упорядоченной, если указано, какой из векторов считается первым, какой вторым и какой третьим. В записи вектор считается первым, – вторым, – третьим.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу кратчайший поворот от первого ко второму вектору наблюдается с конца третьего вектора против часовой стрелки. В противном случае указанная тройка векторов называется левой.

Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е. .

2. Ассоциативность: .

3. Дистрибутивность: .

4. Векторное произведение , если и – коллинеарные векторы.

10². Векторное произведение векторов.

Векторным произведением векторов и называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу ( , где – угол между векторами и ), который перпендикулярен перемножаемым векторам и направлен так, что векторы образуют правую тройку векторов (рис. 1).

Рис. 1

Рис. 2

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулевому вектору.

Векторное произведение двух векторов и обозначают символом , или , или .

10³. Физический смысл векторного произведения векторов.

В физике момент силы с точкой приложения А относительно точки О изображают вектором , перпендикулярным плоскости, в которой лежат точка О и вектор (рис. 2), таким, что тройка векторов – правая. Длина вектора определяется как произведение длины вектора на плечо , где – расстояние от точки О до прямой, на которой лежит вектор силы , т.е. , или – радиус–вектор точки приложения силы . Таким образом, момент силы относительно некоторой точки , есть векторное произведение радиус–вектора точки приложения силы на вектор силы : .

10⁴. Условие коллинеарности векторов.

Используя формулу или , определение векторного произведения и свойство 4(Векторное произведение , если и – коллинеарные векторы.), получаем следующее утверждение: два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: