Кониченские поверхности.
Конической называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и проходящей через некоторую точку (вершину). Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось Oz, записывается в виде
. (5)
Геометрически коническую поверхность можно изобразить, как показано на рис. 4.
Аналогично, уравнения
,
являются уравнениями конусов второго
порядка с вершиной в начале координат,
осями которых служат соответственно
оси Оу, Ох.
Цилиндрические поверхности.
Поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной некоторому заданному направлению, называется цилиндрической.
Уравнение вида
в декартовой системе координат
в
пространстве определяет цилиндрическую
поверхность, у которой образующие
параллельны оси Oz.
Аналогично, уравнение
определяет цилиндрическую поверхность
с образующими параллельными оси Oy,
а
– цилиндрическую поверхность с
образующими параллельными оси Ох.
Канонические уравнения цилиндров второго порядка:
эллиптический цилиндр
, (2)
гиперболический цилиндр
, (3)
параболический цилиндр
. (4)
Образующие всех трех цилиндров, определяемых уравнениями (2), (3), (4), параллельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости Oxy.
Отметим, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид
.
Эллипсоид.
Эллипсоидом (рис. 1) называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат Oxyz каноническим уравнением
,
(1)
где величины а, b, c называют полуосями эллипсоида.
Из уравнения (1) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало координат – центром симметрии.
Точки пересечения осей координат с эллипсоидом называют вершинами эллипсоида.
Рассмотрим сечение
эллипсоида плоскостью
,
параллельной
плоскости Оху.
Тогда линия, которая получается в
сечении, определяется системой
уравнений:
. (2)
Обозначим
и перепишем (2) в виде
.
Таким
образом, сечение эллипсоида (1) плоскостью
,
представляет собой эллипс с полуосями
ak и bk.
Если
,
то этот эллипс стягивается в точку –
вершину эллипсоида (0;0;+с) или
.
Аналогичная картина получается при рассмотрении сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz. Заметим только, что плоскость Oхz пересекает эллипсоид по эллипсу, который определяется системой
,
плоскость Oyz – по эллипсу, определяемому уравнениями
.
Если
две полуоси эллипсоида равны, например
,
из (1) получаем уравнение
(3)
Если
пересечь эллипсоид (3) плоскостью
,
то получим окружность
с
центром на оси Oz.
Поэтому такой эллипсоид можно получить
вращением расположенного
в плоскости Oхz
эллипса
вокруг оси Oz. Эллипсоид
(3) называют эллипсоидом вращения.
Отметим
также, что в случае
эллипсоид является сферой.