2. Композиционные оцкп, их построение и анализ.

Методика построения квадратичной модели процесса с использованием ОЦКП

Рассмотрим для простоты 2х-факторную модель к=2.

На первом этапе выбираем исследуемые факторы х1 и х2 и выходной показатель у.

Выбираем шаги варьирования, переходим к кодированным значениям факторов.

По данным плана из 4х была получена модель:

Вычислим дисперсию воспроизводимости выходного показателя у по результатам n=3 повторных измерений показателя у в каждом из N=4 опытах плана.

Быстрая проверка адекватности модели (без вычисления критерия Фишера) – сравнение модуля разности свободного члена b0 и значения показателя у в основном исходном режиме . Модуль разности – то мера квадратичных эффектов в исследуемой модели. Если она превосходит , то модель исходного плана неадекватна, необходимо перейти к модели 2го порядка, включающую указанные квадратичные эффекты bii.

Поэтому реализованный план был дополнен до полного ОЦКП 2го порядка путем дополнения звездных точек. Чтобы рассчитать все коэффициенты квадратичной модели по простым формулам, аналогичных плану , выбираем соответствующую величину α и производим замену квадратов значений факторов так, чтобы сделать их ортогональными между собой и со свободным членом b0, для которого иногда вводят фиктивный столбец х0.

От столбцов квадратов фактора переходят к

В результате получаем ортогональные столбцы, для которых справедлива формула:

Т.о., после выбора величины α и преобразования квадратичных столбцов, все коэффициенты модели оцениваются независимо друг от друга с максимальной точностью, т.е. с минимальной дисперсией, но разной для каждой группы коэффициентов квадратичной модели.

Далее вычисляют доверительный интервал для каждого коэффициента и если модуль этого коэффициента меньше доверительного интервала, то такой член исключают из модели как незначимый, оставляя в ней только значимые члены, коэффициенты которых больше доверительного интервала.

Заключительный этап сводится к проверке адекватности по критерию Фишера, включающей только значимые коэффициенты.

Следующий этап – проверка по t-критерия Стьюдента.

Заключительный этап – проверка адекватности полученной модели. Подставляем в полученное уравнение значение факторов х в каждом из опытов реализованного плана и вычисляем предсказываемые моделью значения .

Р асчет остаточной суммы квадратов:

модель адекватно описывает интересующую зависимость и может быть использована для оптимизации исследуемого процесса интерпретации влияния факторов.

Билет 2

1.Принципы статистического подхода к исследованию многофакторных объектов.

План должен составляться так, чтобы при статистической обработке имелась возможность хорошо проанализировать эксперимент: проверить: существуют ли эффекты изучаемых факторов, определить величину этих эффектов (не увидеть несуществующие и не "проглядеть" действительные эффекты), найти наименьший значимый эффект и т. д. Оценки эффектов факторов можно считать достоверными только тогда, когда ни неоднородность экспериментальных единиц,, ни другие неучтенные факторы не в состоянии привести к полученному результату.

При статическом подходе к изучению объектов любой природы представляется кибернетической моделью черного ящика, характеризующего набором входных факторов «x», выходных показателей «y» и набором дестабилизирующих (недоступных прямому измерению) факторов «u», вызывающих повышенную изменчивость показателей «y» при фиксированном значении факторов «x».

Факторами могут быть режимные и конструктивные параметры проектируемых систем, состав и технология получения материала, факторы условия их эксплуатации и т.д. влияющие на выходные показатели «y». В роли последних выступают показатели надежности и работоспособности исследуемого оборудования, характеристика отказов при их функционировании, характеристики прочности и износостойкости исследуемых материалов и т.п.

На практике приходится иметь дело с многофакторными объектами, где однофакторный эксперимент неэффективен. В многофакторных планах эксперимента одновременно варьируется множество факторов, а не каждый по одному. Задача статистических исследовании многофакторного объекта сводится к определению количественной зависимости выходных параметров «y» от входных параметров «x», выделение наиболее существенных факторов или подбору режимов обеспечивающих оптимум показателей «y».

Если теоретическая модель зависимости «y» от «x» известна, то это соответствует модели серого ящика. Структура модели которая известна и задача эксперимента состоит в оценке параметров такой модели с максимальной точностью при минимуме опытов.

Искомая зависимость показателя «y» является статической (у=f(x₁,x₂,…,x_k)+Е она неизвестна и зависимость представляют в виде разложения в многомерный ряд Тейлора в окружности исходного начального режима, в виде многомерного полинома

Е- характеризует ошибку воспроизводимости результатов «y» в каждом опыте, т.е. разброс значений «y» при постоянных значениях фактора «x» за счет действия факторов.

Предполагают, что

• Е~

• эти ошибки не коррелируют между собой

• ошибки однородные

• величина ошибок не зависит от значения показателя «y»

При этих предпосылках для оценки коэффициента моделей применяют метод наименьших квадратов из условия,чтобы сумма квадратов отклонений значений предсказываемых по модели от реально наблюдаемых была минимальна.

Постулаты:

1. метод наименьших квадратов применяется по той причине,что он позволяет получить формулы для вычисления коэффициентов модели в явном виде через значения показателей У в каждом опыте и значений обуславливш его факторов Х

2. опыты проводятся согласно многофакторному плану задающему условия опыту (значения факторов) и их порядок. При этом от опыта к опыту меняется много факторов. Оценивается взаимное влияние Х от У,т.е новая информация,которую нельзя получить при однофакторном эксперименте.

3. В процессе эксперимента большинство действий исследования формализованы,опыты ставятся небольшими сериями,анализ результатов которых позволяет принимать обоснованное решение что делать дальше. В результате позволяет наметить последовательность отдельных этапов,оценить необходимое число опытов и разумно распределить имеющиеся ресурсы.

4. Результаты представляются в виде мат. Модели- количественной зависимости выходного показателя У от исследуемых факторов Х. Модели позволяют оценить влияние каждого фактора и их взаимного влияния. Сама форма представления резульатов, которая вместе с планом эксперимента,результатом и анализом занимает 1,2-2 страницы,очень удобно для хранения,публикации.