Предпосылки статистического анализа результатов в задачах планирования эксперимента
Эксперимент как средство познания занимает значительное место в научной и инженерной деятельности. Многие виды этой деятельности на 80-90% связаны с проверкой эксперимента по оценке и сравнению существующих и новых материалов, оборудования, технологий, проектированием и разработкой современных сложных систем, их испытанием и оптимизацией.
В недалеком прошлом известный физик и философ Дж. Бернал отмечал, что эффективность проводимых экспериментальных исследований во многих областях крайне низка и их КПД часто составляет не более 2%. Так же исследования проводились хаотично методом проб и ошибок с большими затратами средств и времени, чем того заслуживали изучаемые проблемы. По данным ученых, затраты на проведение исследований пропорциональны квадрату числа их исполнителей, а эффективность - квадратному корню.
В связи с тем, что объем финансирования непрерывно повышается, но их темпы снижаются.
В связи с этим актуальной задачей во всех областях деятельности является задача повышения эффективности исследований.
Мощным средством повышения эффективности исследований является использование современной методики планирования многофакторного эксперимента. Применение этого метода позволяет в значительной степени формализовать процесс любого экспертного исследования, сократить число опытов и времени их проведения, получить наиболее полную информацию из экспериментов в виде математических моделей, отражающих количественное влияние одновременно многих факторов и их взаимное влияние на интересующие показатели качества и эффективности. Такие модели пригодны для направленной оптимизации использования объектов, их контроля и управления.
Основополагающим планирования эксперимента является английский статистик Рональд Фишер. Он впервые в тридцатых годах предложил использовать многофакторные планы эксперимента в агробиологических исследованиях.
Дальнейшее развитие планирования эксперимента связано с работами Дж.Бокса и Уильяма Вильса, в шетидесятых годах разработали метод многофакторной экспертной оптимизации - аналога градиентного метода оптимизации, используемого в вычислительной математике.
Большой вклад в теорию сделан американским математиком Дж. Кифером и 1960-80ым годам в математической статистике оформилось овое направление - математическая теория эксперимента, которая включала в себя идеи и метод, предложенный Фишером.
При статическом подходе к изучению объектов любой природы представляется кибернетической моделью черного ящика, характеризующего набором входных факторов «x», выходных показателей «y» и набором дестабилизирующих (недоступных прямому измерению) факторов «u», вызывающих повышенную изменчивость показателей «y» при фиксированном значении факторов «x».
Факторами могут быть режимные и конструктивные параметры проектируемых систем, состав и технология получения материала, факторы условия их эксплуатации и т.д. влияющие на выходные показатели «y». В роли последних выступают показатели надежности и работоспособности исследуемого оборудования, характеристика отказов при их функционировании, характеристики прочности и износостойкости исследуемых материалов и т.п.
Задача статистических исследовании многофакторного объекта сводится к определению количественной зависимости выходных параметров «y» от входных параметров «x», выделение наиболее существенных факторов или подбору режимов обеспечивающих оптимум показателей «y».
Если теоретическая модель зависимости «y» от «x» известна, то это соответствует модели серого ящика. Структура модели которая известна и задача эксперимента состоит в оценке параметров такой модели с максимальной точностью при минимуме опытов.
Искомая зависимость показателя «y» является статической (у=f(x1,x2,…,xk)+Ԑ она неизвестна и ее представляют в виде разложения в многомерный ряд Тейлора в окружности исходного начального режима, в виде многомерного полинома
Ԑ- характеризует ошибку воспроизводимости результатов «y» в каждом опыте, т.е. разброс значений «y» при постоянных значениях фактора «x» за счет действия факторов.
Предполагают, что
Ԑ
эти ошибки не коррелируют между собой
ошибки однородные
величина ошибок не зависит от значения показателя «y»
При этих предпосылках для оценки коэффициента моделей применяют метод наименьших квадратов.