28 Вопрос
Арифметические операции над непрерывными функциями.
Теорема: пусть на одном и то же множестве заданы функции f(x), g(x), непрерывна в точке а, тогда функция f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), дифференцируемы в точке а (в случае частного нужно дополнительно потребовать условие g(x) не равного 0).
Доказательство:
Так как непрерывные в точке а функции
f(x),
g(x)
имеют в точке а пределы, соответственно
равные f(а),
g(а),
то всю теорему о пределе суммы, разности,
произведения, частного получаем
;
;
,
а это и означает непрерывность суммы,
разности, произведения, частного функции
f(x),
g(x).
Сложная функция и её непрерывность.
Теорема:
Пусть
функция
непрерывна в точке а
,
функция
непрерывна
в точке
,
тогда сложная функция
непрерывна
в точке а.
Доказательство:
Рассмотрим производную сходящейся
последовательности
, предел которой равен а.
Так
как функция
является непрерывной в точке а
, то последовательность
является сходящейся к пределу b
,
поскольку функция
является непрерывной в точке
b,
то соответствующая последовательность
значений
сходится к числу
.
Таким
образом показали что для рассмотренной
сходящейся последовательности
, предел который равен
а
, соответствует последовательность
сходятся к числу
.
Обратная функция и её непрерывность.
Теорема:
Пусть
функция
возрастает(убывает) на
.
И
(
)-
множества значений этой функции. Тогда
на
(
)
определена обратная функция
,
которая также возрастает(убывает) и
непрерывна, в случае непрерывности
функции
на
.
Арифметические операции над непрерывными функциями.
Теорема:
Если
функции
,
определены на одном и том же множестве
и непрерывна в точке а
принадлежавшему
множеству определений этих функций,
то функции
,
*
,
/
-
так же непрерывны в точке а.
Причём в случае частного нужно потребовать чтобы g(a)вс0
Докзательство: Т.к. функция f(x),g(x) непрерывна в точке А, то
,
.
Согласно теоремы о пределе суммы, разности, произведения, частного заключаем, что:
=
=
=
Непрерывность тригонометрических функций.
Докажем
непрерывность функции в точке
О,y=sinx,покажем
И
зобразим
аргумент функции y=sinx
на единичной окружности, причём угол
будем измерять в радианах. На основании
отложенного угла построим треугольник
АОВ, и сектор круга АОВ. Очевидно
1/2х
Т.о.
заключаем, когда х изменяется то 0 до
,справедливо
неравенство sinx<x.
Построим график y=sinx и y=x.
Построим график функции y=|sinx|,y=|x|
Из
построенного графика видим, что функции
sinx
справедливы оценки 0
.
Пусть
{
-произвольная
плоскость сходящаяся к 0.
плоскости {|sinx|},{|x|}.Для
этих плоскостей справедливы оценки
0
.Т.к.
плоскость {
сходится
к 0,то согласно принципу двухстороннего
ограничения
.Т.о.
доказали, что функция sinx
непрерывна в точке 0.
Докажем теперь непрерывность функции sinx в произвольной точке числовой прямой.
То
есть покажем, что
,
для этого воспользуемся известной
тригонометрической формулой
Пусть
-произвольная
последовательность сходящаяся в точке
a,
согласно записанной тригонометрической
формуле имеем:
.
Найдём
пределы от левой и правой части. В правой
части стоит элемент последовательности,
который можно рассматривать как
произведение двух последовательностей:
,
.
Первая является ограниченной, вторая
в силу непрерывности функции sin
x
в нуле, является бесконечно малой
последовательностью, произведение
ограниченной последовательности на
бесконечно малую, даёт бесконечно малую
последовательность, следовательно
.
Согласно определению по Гейне
Непрерывность
функции cos
x,
вытекает из формулы приведения и таким
образом непрерывности сложной функции
Таким
образом функция cos
x
представлена как суперпозиция y=sin
t
и функция
Обе функции непрерывны, откуда вытекает непрерывность функции cos x.
Непрерывность
функции tg
x
и ctg
x
вытекает из представления
и
,
и из теоремы о частном двух непрерывных
функций. Таким образом заключаем, что
функция tg
x
непрерывна во всех случаях числовой
прямой за исключением точек
,
ctg
x-функция
непрерывна на всей числовой прямой за
исключением точек
.
Согласно теореме о непрерывности обратной функции заключаем, что обратные тригонометрические функции arcsin, arcos, arctg, arcctg, непрерывны во всех точках множества определений этих функций.
Известно, что все элементарные функции непрерывны в точках, принадлежащих их области определения.
Напомним, что функция называется элементарно, если она получена из простейших элементарных функций, с помощью четырёх арифметических операций и операции суперпозиции, примененных конечное число раз.