53 Вопрос
Площадь криволинейной трапеции.
Пусть дана некоторая функция .
Возьмем на графике функции произвольную точку A и B и опустим перпендикуляры AC и BD на ось ox. Получим фигуру ACDB которая называется криволинейной трапецией. Если AB - отрезок прямой не параллелен оси ox, то получится прямоугольная трапеция. Для вычисления площади S криволинейной трапеции, заменим ее площадью ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников.
П
лощадь
ступенчатой фигуры легко вычисляется:
.
Сумму
S`
рассматривают, как приближенное значение
площади криволинейной трапеции, заменив
площадь криволинейной трапеции, площадью
ступенчатой фигуры. =>
Оценим возникающую при этом погрешность, для этого выберем наибольший прямоугольник и достроим его до прямоугольника с высотой, равной максимальному значению функции на отрезке [a,b]. Перенесем все заштрихованные криволинейные треугольники в построенный прямоугольник. Треугольники в прямоугольнике составляют фигуру в виде края пилы.
Т.к.
вся эта фигура умещается в прямоугольнике,
то ошибка
,
равная сумме площадей зубьев пилы
должна быть меньше площади прямоугольника.
Обозначим
ширину прямоугольника через
,
получим что
,
величина BD
- постоянная и из полученной оценки
следует, что ошибку можно сделать сколь
угодно малой, если взять прямоугольник
с достаточно малой шириной
.
График функции, изображенный на рисунке, расположен выше оси ox. Если бы график функции располагался ниже оси ox, то площади криволинейной трапеции приписывался знак “-”. Если функция на различных участках изменения x принимает как положительное, так и отрицательные знаки, то площадь криволинейной трапеции может быть как положительна, так и отрицательна.
Площадь криволинейного треугольника A`B`C`D` отрицательна, площадь криволинейной трапеции A``B``C``D`` положительна.
Фигура А так же называется кривой трапецией. Её площадь рассматривается как сумма площадей фигур ACK, KA`B`L и LA``B``BD, причем площади первой и третьей положительны, а площадь второй отрицательна.
Для оценки погрешности вычисления площадей криволинейной трапеции, задаваемых функциями с чередующими подъемами и спусками, фигуру разбивают на части, соответствующие участкам монотонности функции.
Оценка погрешности в этом случае производится по отдельности и общая погрешность складывается из полученных погрешностей. При переходе к пределу, когда число прямоугольников стремится к бесконечности, а основание самого широкого треугольника стремится к нулю, получают площадь криволинейной трапеции.
О
пределенный
интеграл.
Возьмём
функцию
на
.
Разобьём отрезок
на произвольное число отрезков, длины
которых обозначим через
точки.
Составим
сумму
Сумма
(1) называется интегральной
.
Интегральная сумма (1) представляет
собой сумму площадей прямоугольников
с основаниями
и высотами
множество отрезков
называется
разбиением отрезка
Последовательность
разбиений называется нормальной, если
диаметр разбиения стремится к 0 при
.
-
длина наибольшего отрезка
Определение:
Если функция
обладает тем свойством, что для каждой
нормальной последовательности разбиения
{
}
соответствующая последовательность
интегральных сумм
имеет конечный предел независимо от
выбора точек
,
то говорят, что функция
интегрируема на отрезке [a,b].
Свойства интегрируемых функций.
1.Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
2.Если функция интегрируема на отрезке , то для любой нормальной последовательности разбиения { }, соответствующей последовательность интегральных сумм, стремится всегда к одному и тому же пределу.
Определение: Общий предел последовательности интегральных сумм, соответствующих нормальным последовательностям разбиения, называется определенным интегралом функции на отрезке .
Определённый
интегралом обозначается
,
где a
– нижний предел
интегрирования,
b
– верхний предел интегрирования. Символ
предложил Лейбниц
где
-
общее слагаемое интегральной суммы.
Знак интеграла - это стилизованная
буква S
, слово “интеграл” предложил ученик
и сподвижник Лейбница, Иоганн Бернули.
Integer
– целое, полное.
Приведённое
определение определённого интеграла
называется также, интегралом Риммона.
Согласно этому определение можно
записать:
Принято
считать, что
,
Сумма
Дарбу Жана Гастона и их свойства
обозначим
- точные нижние и верхние грани функции
в каждом i
–промежутке
Эти
суммы называются соответственно нижней
и верхней суммой Дарбу из определения
нижней и верхней грани.
.
Умножим
все части записанных неравенств на
и сложив полученные выражения, придём
к неравенству
.
При фиксированном разбиении суммы s и S определяются однозначно, в то время когда интегральная сумма остаётся переменной величиной, зависящей от выбора точек . Полученное неравенство показывает, что s и S – являются точными нижними и верхними гранями интегральных сумм.