54 Вопрос

Свойства сумм Дарбу.

1 .Если к имеющимся точкам разбиения отрезка добавить новые точки, то нижняя сумма D может только увеличиваться, а верхняя сумма D только уменьшится.

Доказательство: Присоединяем к уже имеющимся точкам деления точку x, пусть x попала в отрезок , имеют место неравенства .

Пусть S’- новая верхняя сумма D. Эти суммы отличаются только на .Пусть M – точная верхняя грань функции на отрезке , - точная верхняя грань на отрезке , - точная верхняя грань на отрезке , очевидно, что , .Сумму S’ отрезок даёт вклад, равный .

Поскольку остальные слагаемые в верхней сумме D одинаковы, получаем, что . Случай нижней суммы D рассматривается аналогично.

2. Каждая нижняя сумма D не больше верхней суммы D, даже если они соответствуют различным разбиениям отрезка .

Доказательство: Рассмотрим 2 разбиения , . Для каждого разбиения введём нижнюю и верхнюю суммы D. s’, S’, s’’, S’’,

Рассмотрим вспомогательное разбиение образованное точками и . Новому разбиению будет соответствовать нижнее s и верхняя сумма D. S , , .

С огласно 1 –свойству сумм D добавление новых точек не может приводить к уменьшению нижней суммы D . В силу транзитивности .

Теорема: (Условие существования определённого интеграла). Для существования определённого интеграла необходимо и достаточно, чтобы

Классы интегрируемых функций.

Теорема: Непрерывные на отрезке функции интегрируемы на этом отрезке.

Д оказательство: Если функция непрерывна на отрезке то согласно теореме Кантора, она равномерно непрерывна на , то есть, для любого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек . Исходя из определения равномерной непрерывности, для произвольного положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число . Рассмотрим разбиение с диаметром, меньше величины . Оценим разность между верхней и нижней суммами D. В этом случае . В силу выбора диаметра разбиения, замечаем, что для всех отрезков выполняется неравенство . Таким образом, показали, что

Если функция непрерывна, то для неё существует определённый интеграл.

Свойства определённого интеграла.

1.Если функция и интегрируемы на , то функция также интегрируема на .

Справедливость первого свойства вытекает из справедливости соотношения интегральных сумм . Это соотношение справедливо для любого разбиения отрезка и любого выбора точек , так как существует предел от правой части, то существует предел от левой части, что и доказывает справедливость 1 свойства, которое можно записать в виде:

2. Если функция интегрируема на то с также интегрируема на , где с - некоторая const.

. Справедливость 2 свойства вытекает из справедливости для любого разбиения и любого выбора точек

Следствие 1. Линейная комбинация интегрируемых на отрезке функций также интегрируема на . Причём имеет место соотношение:

3. Если функция интегрируема на , то она интегрируема на любом отрезке , содержащемся в отрезке .

Доказательство: Рассмотрим разбиение , для которого выполняется соотношение . Обозначим разбиение через . Добавим к этому разбиению точки c и b в результате получим новое разбиение верхняя и нижняя сумма которого обозначим s’ и S’

S’- может только уменьшаться, s ’- может только увеличиваться, то Рассмотрим разбиение .Обозначим точками новое разбиение, для него имеет место неравенство, . Поскольку левая часть неравенства целиком содержится в “штриховой” части неравенства, остальные слагаемые которого положительны. Таким образом имеем

4 .Если функция интегрируема на и то функция интегрируема на , причём имеет место соотношение .

Доказательство: Рассмотрим случай, когда точка тогда можно представить в виде видим разбиение отрезка . ,

Для которого имеет место неравенство: разбиение отрезка для которого образует разбиение ,для которого выполняется соотношение . Этим установим, что интегрируема на . Осталось доказать, что - (*). Для доказательства рассмотрим его разбиение.