44 Вопрос

Основные теоремы о дифференцирующих функциях.

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности фиксированной точки с.

Определение: Будем говорить , что функция возрастает (убывает) в точке с , если найдем точки окрестности точки с в пределах которой f(x)<f(c) при x<c и f(x)>f(c) при x>c (f(x)>f(c) при x<c, f(x)<f(c) при x>c ).

Определение: Будем говорить , что функция имеет в точке с локальный максимум (локальный минимум ), , если найдем точки окрестности точки с в пределах которой значение f(c) является наибольшим (наименьшим) среди всех значений f(x) этой функции.

Определение: Будем говорить , что функция имеет в точке с локальный экстремум , если эта функция имеет в указанной точке либо локальный максимум , либо локальный минимум.

Теорема: (Достаточное условие возрастания или убывания функции в точке )

Если функция дифференцируема в точке с и её производная в данной точке положительна (отрицательна ) , то функция возрастает (убывает) в точке с.

Доказательства: Проведем все рассуждения для случая (при рассматривается аналогично).По определению производной На основании определения предала функции по Коши для положительного числа найдется такая , что

при

Раскрыв модуль получим

, при ,

Таким образом, всюду в проколотой - окрестности точки с .А это означает , что всюду в пределах - окрестности точки с f(x)>f(c) при x>c c и f(x)>f(c) при x<c, то есть функция возрастает в точке с.

При рассматривается аналогично.

Заметим , что положительность (отрицательность) производной не является необходимым условием возрастания (убывания ) дифференцируемой в точке с функции .

Например функция возрастает в точке с=0 , в то время производная этой функции обращается в ноль в точке с=0 .

Теорема: (Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой в данной точке функции) .Если функция дифференцируема в точке с и имеет в этой точке локальный экстремум ,то .

Доказательства : По условию теоремы существует конечная производная так как функция имеет в точке с локальный экстремум , то она не может в этой точке с ни возрастать , ни убывать . Следовательно производная не может быть ни положительной, ни отрицательной .Тем самым доказано , что .Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Она утверждает ,что если в точке локального экстремума , существует касательная, то эта касательная параллельна оси Ox.Обращение в нуль производной является лишь необходимым и не является достаточным условием локального экстремума .

Теорема Ролля о нуле производной.

Теорема: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка . Пусть кроме того f(a)=f(b) . Тогда внутри отрезка найдется точка с такая , что значение производной в этой точке .

Доказательства: Так как функция f(x) непрерывна на отрезке , то эта функция достигает на отрезке своего максимального значения M и своего минимального значения m . При этом могут быть представлены два случая 1)M=m,2)M>m.

В первом случае f(x)=M=m=const.Поэтому производная равна нулю в любой внутренней точке отрезка .В случае M>m , поскольку f(a)=f(b) , то можно утверждать . что хотя бы одно из двух значений M или m достигает функцией в некоторой внутренней точке с отрезка . Но тогда функция f(x) имеет в этой точке с локальный экстремум. Поскольку функция f(x) дифференцируема в точке с , то по предыдущей теореме .

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если крайний ординаты кривой y=f(x) равны, то согласно теореме Ролля , на кривой y=f(x) найдется точка , в которой касательная к кривой параллельно оси Ox.

Теорема Лагранжа (формула Лагранжа)

Теорема: Если функция непрерывна отрезке (ab),и дифференцируема во всех точках этого отрезка, то внутри отрезка (ab) найдётся точка С, такая, что справедлива формула : f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1)

Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

Доказательство:

Рассмотрим на отрезке (ab) вспомогательную функцию.

F(x)=f(x)-Fa)+ (2)

F(a)=f(a)-f(a)+ =0

F(b)=f(b)-f(a)+ =0

Для формулы (2) выполняются все условия теоремы Ролля.Функция f(x)непрерывна на отрезке (ab),и во всех внутренних точках отрезка (ab),и имеет производную:

F’(x)=f’(x)-

Согласно теоремы Ролля внутри отрезка (ab) найдется точка С такая, что :

F’(с)=f’(с)- =0 (3)

Из формулы (3) вытекает Лагранжа (1) f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Формула (1) верна для случая b>a и b<a.

Для выявления геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина есть второй коэффициент секущей, проходящей через точку А(a,f(a)) и B(b,f(b)) кривой y=f(x),а f’(x),есть правый коэффициент касательной и правой y=f(x),проходящей через точку С(с,f(c)).Формула (1) означает, что на правой y=f(x),между точками A и B найдётся точка С касательная в которой пресекается секущей.

Иногда формула Лагранжа записывается в виде:

f( (4)

где с некоторая точка находящаяся между и (

Точку с можно представить в виде :

с= +θ где 0< θ<1

формулу (4) можно представить в виде f( θ ) (5)

Формула (5) даёт тожное рпирощение для рпирощения функции через вызывающее его произвольное конечное прирощение аргумента.

Следствие из формулы Лагранжа.

1)Постоянство функции ,имеющей на интервале равную нулю производную.

Теорема: Если функция дифферинцируема всуду на интервале (ab),и если всюду на интервале f’(x)=0,то функция является постоянной на интервале (ab).

Доказательство: Пусть -некоторая дифференцируемая точка на интервале (ab),а x-любая точка этого интервала. Отрезок ( х) или (х ),целиком принадлежит интервалу (ab).Поэтому функция f(x) дифференцируема всюду на этом отрезке. Это даёт право применить к функции f(x) на этом сегменте теорему Лагранжа.

f(x)-f( )=(x- )f’(c) (6)

По условию производная f(x) равна 0 всюду на интервале (ab),следовательно f’(c)=0,и из формулы (6) получим f(x)=f( ) (7)

Равенство (7) утверждает, что функция f(x) в любой точке х ,интервала (ab) равно её значению в дифференцируемой точке .это и означает, что функция постоянна всюду на интервале (ab).

2)Условия постоянства функции на интервале.

Теорема

Для того что бы дифференцируемая на интервале (ab) функция f(x) не убывает (не возрастает) на этом интервале ,необходимо и достаточно, что бы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство

Пусть f’(x) ),всюду на интервале (ab).Требуется доказать, что f(x) не убывает (не возрастает) на интервале (ab).

Пусть -любые две точки из интервале (ab),удовлетворяющих условию . Функция дифференцируема всюду на отрезке [ ].Поэтому к f(x) ,можно применить теорему Лагранжа.

f( -f( =( (8)

где ,по условию f’(x) ), ,поэтому правая, а стало быть и левая часть (8) неотрицательны(неположительны),что и доказывает неубывание (невозрастание) f(x) на (ab).