45 Вопрос

Обобщённая формула конечных приращений

Теорема: Если каждая из 2-х функций f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [ab] и дифференцируема во всех точках этого отрезка и если кроме того производная g’(x) отлична от 0,всюду на отрезке [ab],то внутри отрезка найдётся точка с, такая, что справедлива формула:

Формулу (9) называют обобщённой формулой конечных прирощений.

Доказательство: Покажем вначале ,что g(a) .если бы это было не так ,то для функции g(x) были бы выполнены на отрезке [ab] все условия теоремы Ролля и на этой теореме внутри отрезка [ab] казалась бы в точке с, те же .что g’(c)=0.

Последнее противоречие условий теоремы.

Поскольку g(a) то нужно рассмотреть вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-f(a)- (g(x)-g(a)) (10)

В силу требований принадлежавших к f(x) и g(x),функция F(x) непрерывна на отрезке [ab],и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того F(a)=F(b)=0. Т.о. для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка [ab] найдётся точка с ,так, что F’(c)=0

Следовательно .так как F’(x)=f’(x)- g’(x),то

f’(с)- g’(с)=0

Т.к. gэ(с) ,то получим формулу Коши.

Р аскрытие неопределённостей (Правило Лопиталя)

Раскрытие неопределённостей вида .

Теорема:(Правило Лопиталя) Пусть представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на , и кроме того, производная не обращается на в нуль. Пусть также . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причём справедливо соотношение =

Доказательство: пусть - произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к а, и состоящая из чисел отличных от а. Доопределим функции в точке а, положив их равными нулю в этой точке. При таком доопределении функции окажутся непрерывными в - окрестности точки а. рассмотрим произвольный сегмент ограниченный точками а и , функции будут непрерывны на этом сегменте. Кроме того функции дифференцируемы во всех внутренних точках сегмента, и производная не обращается в этих внутренних точках в нуль. Это даёт право применить формулу Каши . (11)

Учитывая, что до определённых функций , , тогда = , (12)

находится между точками а и , так как при , , то и

при , в силу существования предела и определения предела функции по Гейне правая часть (12) имеет предел при равный пределу (13). Стало быть, тот же самый предел при имеет и левая часть (12). Таким образом получим: = . Правило Лопиталя «действует» не всегда, предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.

Пример: пусть , рассмотрим предел = , хотя предела отношения не существует , так как предела не существует.

Если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции , то правило Лопиталя можно применить повторно.

1)

2)

3)

Раскрытие неопределённости вида

Принято говорить, что отношение двух определённых в окрестности точки а, функций , представляет собой при неопределенность вида , если

Теорема:(второе правило Лопиталя) Пусть представляет собой проколотую -окрестность точки а, функции определены и дифференцируемы на , и кроме того, производная не обращается на в нуль. Пределы функций в точке а бесконечны. . Тогда, если существует (конечный или бесконечный) предел , то существует и предел , причём справедливо соотношение = .

Без доказательства!