48 Вопрос

Неопределённый интеграл.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на интервале (a, b) если функция F(x) дифференцируема на заданном интервале и в каждой точке x интервала выполняется равенство: F’(x)=f(x).

Из приведенного определения следует, что если функция F(x) является первообразной для f(x), то функция F(x)+С также является первообразной для функции f(x) на (a, b).Кроме того имеет место следующая теорема.

Теорема: Если F₁(x), F₂(x) – две первообразные функции для f(x) на (a, b), то всюду на этом интервале выполняется соотношение F₁(x)-F₂(x)=const.

Доказательство: Рассмотрим функцию Ф(x)= F₁(x)-F₂(x).Функции F₁(x) и F₂(x) дифференцируемы на интервале (a, b),разность двух дифференцируемых функций даёт дифференцируемую функцию, Ф(x) – дифференцируема, и имеет место соотношение: Ф’(x)= (F₁(x)-F₂(x))’= F₁’(x)-F₂’(x)= f(x)-f(x)=0.

Согласно следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции равна 0, всюду на интервале (a,b),то эта функция равна константе на этом интервале.

Ф(x)=const из этого следует, что F₁(x)-F₂(x)= const

Следствие: Если F(x) – некоторая первообразная функции f(x) на интервале (a, b), то любая первообразная функции f(x) может быть представлена в виде F(x)+ const.

Определение: Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале (a, b) называется неопределённым интегралом.

Эта совокупность обозначается: (1)

Знак ” ”- интеграл; f(x)dx-подынтегральное выражение: f(x)-подынтегральное функция. Согласно следствию из ранее приведенной теоремы, можно записать: (2). Заметим, что если функция f(x) обладает первообразной, то подынтегральное выражение f(x)dx можно представить в виде: f(x)dx=F’(x)dx=dF

Свойства неопределённого интеграла.

1. , 2.

Доказательство свойства 1: Достаточно взять дифференциалы от обоих частей равенства (2). Доказательство свойства 2 вытекает из возможности представления подынтегрального выражения дифференциалом первообразной.

Следующие 2 свойства называются свойствами линейности:

4. , где A=const

Доказательство свойства 3: вытекает из 2-го, если F(x) первообразная, для f(x),а G(x) первообразная для функции g(x), то выражение является первообразной для функции .