§ 7. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

О пределение. Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

На рисунке кривая выпукла вверх на интервале , выпукла вниз на интервале , точка М - точка перегиба.

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку х₀, в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, но точка графика с абсциссой х₀ есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

§ 8. Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

А симптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если , или , или .

Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при , если .

У равнение наклонной асимптоты будем искать в виде . Если существует наклонная асимптота , то k и b находятся по формулам и . Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k=0, то , то получаем уравнение горизонтальной асимптоты.

Пример. Найти асимптоты для графика функции .

Решение.

1. Находим вертикальные асимптоты. Точка х=0 – точка разрыва второго рода данной функции, причем при , при . Следовательно, ось ординат х=0 – вертикальная асимптота.

2. Находим горизонтальные асимптоты: , т.к. n>m. Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

3. Находим наклонные асимптоты:

( )

.

Следовательно, прямая у=х+2 является наклонной асимптотой графика данной функции как при , так и при .

§9. Общая схема исследования функции и построения графика

При исследовании функций и построения их графиков рекомендуется использовать следующую схему.

1. Найти область определения функции.

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти интервалы монотонности функции.

6. Найти экстремумы функции.

7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8. На основании проведенного исследования построить график функции.

Если всех пунктов не достаточно, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции.