Колоквиум 3
ТЕМА: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функции одной переменной
§ 1. Неопределенный интеграл
ПЛАН
1. Понятие первообразной функции.
2. Неопределенный интеграл.
3. Основные свойства неопределенного интеграла.
4. Таблица основных интегралов.
-1-
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x) = f(х) (или дифференциал).
Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления. Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(х).
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если для всех значений х из того промежутка выполняется равенство
F'(x) = f(х) (или dF(x)=f(x)dx).
Рассмотрим примеры.
1.
Первообразной для функции у=х2,
,
является функция
,
так как
.
2.
Первообразной для функции у=cos
x,
,
является функция
,
так как
.
Задача
отыскания по заданной функции f(х)
ее первообразной решается неоднозначно.
Дифференцируя, нетрудно убедиться, что
функции
,
и вообще
,
где С
– некоторое число, являются первообразными
для функции f(x)=
x2.
Аналогично в общем случае, если F(x) – некоторая первообразная для функции f(х), то, поскольку (F(x)+С)'= F'(x)= f(х), функции вида F(x)+С, где С – произвольное число, также является первообразными для f(х).
Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(х) на промежутке Х, то множество всех первообразных для f(х) задается формулой F(x)+С, где С – постоянное число (без доказательства).
-2-
Определение.
Множество
всех первообразных функций F(x)+С
на промежутке Х для функции f(х)
называется неопределенным
интегралом от функции f(х)
и обозначается символом
.
Таким
образом, по определению
=F(x)
+ C
. (1)
Здесь f(х) – подынтегральная функция,
– подынтегральное
выражение,
х – переменная интегрирования,
∫ – знак неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+С (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.
-3-
Из определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства.
1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
.
(2)
∆ Дифференцируя левую и правую части равенства (1), получаем
.
▲
2°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
d
.
(3)
∆ По определению дифференциала и свойству 1 имеем
d
.
▲
Благодаря этим свойствам правильность интегрирования проверяется дифференцированием. Например, равенство ∫(3х2+4)dx=х3+4х+С верно, т.к. (х3+4х+С)'=3х2+4.
3°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
∫dF(x)=F(x)+C, (4)
где С – произвольное число.
∆ Рассматривая функцию F(x) как первообразную для некоторой функции f(x), можно записать ∫f(x)dx=F(x)+C и на основании (3) дифференциал неопределенного интеграла f(x)dx=dF(x), откуда
∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C. ▲
Сравнивая между собой свойства 2 и 3, можно сказать, что операции нахождения неопределенного интеграла и дифференциала взаимообратны (знаки d и ∫ взаимно уничтожают друг друга, в случае свойства 3 с точностью до постоянного слагаемого).
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
∫ κf(x)dx=κ ∫f(x)dx , (5)
где κ – некоторое число отличное от 0.
5°. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx. (6)
6°.
Если
F(x)
– первообразная для f(x),
то
- первообразная для функции f(κx+b),
т.е.
,
(κ≠0).
(7)
Пример.
Найти интеграл
.
Решение.
,
где
.
-4-
Таблица основных интегралов
1.
. 11.
.
2.
. 12.
.
3.
. 13.
.
4.
. 14.
.
5.
. 15.
.
6.
. 16.
.
7.
. 17.
.
8.
. 18.
.
9.
. 19.
.
10.
. 20.
.
Справедливость приведенных формул проверяется непосредственно дифференцированием.