§4. Основные теоремы дифференциального исчисления

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого аргумента, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. .

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Теорема Роля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функция равна нулю: .

Геометрический смысл теоремы Ролля: найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равна нулю.

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ,

2. дифференцируема на .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. .

Механический и геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Приращение - это изменение функции на отрезке ; - средняя скорость изменения функции на этом отрезке; значения же производной в точке – это «мгновенная» скорость изменения функции. Т.о., теорема утверждает: существует хотя бы одна точка внутри отрезка такая, что скорость изменения функции в ней равна средней скорости изменения функции на этом отрезке.

Г еометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.4

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, найдется хотя бы одна точка , в которой касательная к графику и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ, параллельны т.к. угловой коэффициент секущей , а касательной .

Следствие 1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке Х, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x):

1) непрерывны на отрезке ;

2) дифференцируемы в интервале , g(a)≠g(b) и g´(x)≠0 для всех

то существует точка с такая, что

.

§5. Вычисление пределов с помощью производных. Правила Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и , который основан на применении производных.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности ).

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел отношения производных , то существует и предел , причем справедлива формула .

Коротко полученную формулу читают так: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Пример 1. Найти .

Решение. .

Пример 2. Найти .

Решение. .

Можно применить формулу два раза.

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида ).

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то .

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Раскрытие неопределенностей различных видов.

Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида , , , , сводится к двум основным видам путем тождественных преобразований.

1. Пусть , при . Тогда очевидны следующие преобразования:

(или )

Пример 4. .

2. Пусть , при . Тогда можно поступить так:

Пример 5.