§3. Интегрирование рациональных функций
ПЛАН
1. Правильные и неправильные рациональные дроби, выделение целой части у неправильной дроби.
2. Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей, метод сравнивания коэффициентов.
3. Интегрирование простейших рациональных дробей.
4. Общее правило интегрирования рациональных дробей.
-1-
Целой рациональной функцией (многочленом) называется функция вида
,
(1)
где а0, а1,…,аn – постоянные, называемые коэффициентами многочлена; число n – постоянная, называемая показателем степени многочлена.
Дробно-рациональной
функцией (или рациональной дробью)
называется функция, равная отношению
двух целых рациональных функций
(многочленов), т.е.
,
где Рm(х)-
многочлен степени m,
а Qn(x)-
многочлен степени n.
Дробно-рациональная
функция называется правильной, если
степень числителя меньше степени
знаменателя, т.е. m<n;
в противном случае (
)
функция называется неправильной.
Всякую
неправильную дробно-рациональную
функцию
можно, путем деления числителя на
знаменатель, представить в виде суммы
многочлена L(х)
и правильной рациональной функции
,
т.е.
.
Например:
-
неправильная рациональная дробь.
Разделим числитель на знаменатель в
столбик.
Получим частное L(х)=х3+2х2+4х+3 и остаток R(х)=15. Следовательно,
=
х3+2х2+4х+3+
.
В случаях, когда дробь не громоздкая, можно поступить следующим образом:
1.
.
2.
.
3.
.
-2-
Простыми дробями называют дроби следующих типов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
,
где A, M, N, a, p, q – действительные числа, k=2,3,…., m=2,3,….., квадратный трехчлен x2+px+q не имеет корней.
Рассмотрим 3 случая разложения дробно-рациональных функций:
1) Множители знаменателя линейные, они различны. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.
.
2) Наряду с линейными различными множителями знаменателя (которых может и не быть) присутствуют повторяющиеся линейные множители. Количество простых дробей равно показателю степени знаменателя.
.
3) Наряду с линейными множителями знаменателя встречаются выражения второй степени, не разлагающиеся на линейные множители.
.
В рассмотренных примерах A, B, C, D, E, M, N – неизвестные коэффициенты (числа). Для их нахождения существует множество методов. Рассмотрим один из них - метод сравнивания коэффициентов (метод приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х).
Алгоритм метода сравнивания коэффициентов.
1. Дробь разложить на простые дроби.
2. Правую часть дроби привести к общему знаменателю.
3. Знаменатели отбросить.
4. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.
5. Решить систему линейных уравнений, из которой и определить искомые коэффициенты.
Пример
2:
Представим дробь
в виде суммы простейших дробей.
Решение.
;
;
;
.
Приравнивая
коэффициенты получим:
.
Решая систему, получим A=-1, B=3, C=-2.
Следовательно,
Пример
3:
Разложить
на элементарные дроби.
Решение: Т.к. x2-5x+6=(x-3)(x-2), то
;
;
A=5,
B=-3
Таким
образом 
-3-
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
I.
.
II.
.
III.
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим.
,
причем
Сделаем
подстановку
.
Тогда
,
dx=dt.
Положим
,
тогда получаем
Возвращаясь к переменной х, получим:
Пример
4.
Найти
.
Решение:
,
сделаем подстановку х+1=t,
тогда х=t-1,
dx=dt
.
.
Рассмотрим другой подход.
Рассмотрим частный случай, если p=0, т.е. интеграл вида
Для нахождения этого интеграла достаточно найти интегралы
и
Интеграл
сводится (вынесением множителя) либо к
табличному интегралу:
,
если ac>0,
либо к интегралу:
,
если ac<0.
Для
нахождения интеграла
используем замену переменной
.
Тогда
,
и
Окончательно
имеем
.
Возвращаясь
к интегралу
,
заметим, что его можно привести к виду
,
если сначала выделить полный квадрат
в знаменателе подынтегральной функции,
а затем использовать соответствующую
замену переменной.
-4-
Рассмотренный материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
Если дробь неправильная, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример:
Найти
Решение:
,
то
;
;
;
