§12. Техника вычисления пределов.

При вычислении пределов могут возникать некоторые неопределённости. Существуют специальные способы уйти от этих неопределённостей:

1. Раскрытие неопределённости , в этом случае числитель и знаменатель необходимо разложить на множители и сократить, пример:

.

Иногда в случае неопределённости можно и числитель, и знаменатель умножить на сопряжённое выражение для числителя или знаменателя.

.

2. Раскрытие неопределённости «бесконечность на бесконечность» .

В этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на наибольшую степень.

Пример:

Таким образом, если числитель и знаменатель дроби многочлен, то предел дроби при равен:

1. Отношению коэффициентов при старших степенях, если старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя;

2. Бесконечности, если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя;

3. Нулю, если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя.

3. Раскрытие неопределённости .

В этом случае можно умножить на сопряжённое.

Пример:

.

Иногда необходимо привести к общему знаменателю.

Пример:

4. Раскрытие неопределенности .

.

5. Пределы, сводящие ко второму замечательному пределу.

.

Колоквиум 2 тема: дифференциальное исчисление функции одной переменной

§1. Производная функции

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной. Общее правило дифференцирования.

- 1 -

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении многих задач.

1. З адача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая у=f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в заданной точке.

Прежде всего необходимо выяснить, что мы будем понимать под касательной к кривой. Касательную нельзя определить как прямую, имеющую с кривой одну общую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 1 имеет одну общую точку с кривой (2), но не является касательной к ней. А прямая (3) на рис.1 хотя имеет две общие точки с кривой (4), очевидно, касается ее в точке А. Поэтому для определения касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Д адим сначала общее определение касательной к кривой. Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М₁. Прямую ММ₁, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М₁, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

О пределение. Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ₁, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=f(х), имеющей в точке М(х;у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k = tg, где -угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М₁ графика с абсциссой х+х секущую (рис.3). Обозначим через  - угол между секущей ММ₁ и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент равен

.

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю, поэтому точка М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ₁, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол , т.е. .

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

(1)