§8. Основные теоремы о пределах.

Пусть и . Тогда

1. Функция не может иметь более одного предела.

Предположим, что функция при имеет два предела и . Тогда функцию можно представить в виде:

, где и - бесконечно малые величины.

Найдём разность.

.

2. Предел алгебраической суммы конечного числа функции равен сумме пределов этих функций, т.е. /

3. Предел произведения конечного числа функции равен произведению пределов этих функций, т.е. .

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю, т.е. , где .

5. Если и

, то

.

6. Если в некоторой окрестности точки при достаточно больших имеет место неравенство , то предел .

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функции и из чего делается заключение о существование пределов функции их суммы произведения или частного. Однако существование предела суммы произведения или частного конечного числа функции ещё не означает существование пределов самих этих функций.

Пример:

.

При этом

7. Е сли в некоторой окрестности точки функция заключена между двумя функциями и , т.е. , то функция имеет тот же предел .

§9. Первый и второй замечательные пределы.

Теорема. Предел отношения бесконечно малой дуги к самой дуге (выраженной в радианах) называется первым замечательным пределом и равен единице, т.е. .

Пример.

Замечание. В общем случае справедливы равенства , и

Предел последовательности с общим членом при называется вторым замечательным пределом и равен числу , т.е.

.

Замечание. Если обозначить , то второй замечательный предел можно записать в виде .

Доказательство первого и второго замечательного предела самостоятельно.

Пример.

Предел .

§11. Непрерывность функции. Разрывные функции.

Пусть в некотором множестве определена функция , .

Определение (по Гейне). Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значение аргумента сходящейся к последовательность соответствующих значений функций, т.е. сходится к .

Другими словами функция непрерывна в точке , если существует предел и он равен значению функции в этой точке, т.е. (1)

Так как , то соотношению (1) можно придать следующую форму , т.е. для непрерывной функции знак функции и предела можно переставлять.

Определение (по Коши). Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует , такое, что для , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Замечание. Если или слева, то функцию называют непрерывной в точке справа или слева. Если функция непрерывна и справа, и слева, то она непрерывна в этой точке.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то функции , и , при , также являются непрерывными в этой точке.

Простейшим примером непрерывной функции являются элементарные функции.

Определение. Точка называется точкой разрыва функции , если в точке не является непрерывной.

Разрывы функции можно классифицировать следующим образом:

1. Разрыв первого рода, точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы, т.е. .

2. Разрыв второго рода, точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример: исследовать на непрерывность функцию ,

Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках отрезка , за исключением конечного числа точек, которые имеют разрыв первого рода и кроме того имеет односторонние пределы в точках и .

Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на интервале, если она кусочно-непрерывна на любом принадлежащем ему отрезке.