5.9. Графические методы определения границ групп a, b и c

1. Метод определения границ с помощью касательной к кривой А, В и С

Рассмотрим метод разделения множества объектов управления, упорядоченного по убыванию признака значимости объекта, с помощью касательной к кривой АВС-анализа¹. Кривая ABC строится в прямоугольной системе координат. По оси ОХ откладываются объекты управления (например, позиции ассортимента), выстроенные в порядке убывания доли в общем результате (например, доли в реализации), в процентах к общему количеству объектов управления. По оси OY откладывается доля вклада объекта (доля реализации по позиции) в общем результате (в общей реализации), исчисленная нарастающим итогом и выраженная в процентах (рис. 31).

Рис. 30. Кривая ABC-анализа

Соединим начало и конец графика прямой OD и затем проведем касательную к кривой ABC, параллельную линии OD. Абсцисса точки касания (точка М) покажет нам границу между группами А и В, а ордината укажет долю вклада группы А в общий результат.

Рис. 31. Разделение исследуемого множества на группы А, В и С с помощью касательной к кривой ABC

Соединим теперь точку М с концом кривой - точкой D, и проведем новую касательную к графику ABC, параллельную линии MD. Абсцисса точки касания (точка N) указывает границу между группами В и С, а ордината показывает суммарный вклад групп А и В в общий результат.

2. Метод определения границ-с помощью петли АВС-анализа¹

Предлагаемое решение определяет в качестве границ множеств А. В и С участки резкого изменения кривизны графика ABC.

На рис. 30 изображена типичная форма кривой ABC. Представим себе, что эта кривая является планом автомобильной трассы, по которой снизу (от точки 0) по направлению к повороту, не снижая максимально возможной на прямой дороге скорости, несется гоночный автомобиль. Место, где его выбросит с дороги, характеризуется резким возрастанием кривизны графика. В этой точке область резкого нарастания значения признака (группа А) сменяется областью плавного нарастания (группа В).

Направив мысленно автомобиль на полной скорости во встречном направлении (на рис. 30 от конца кривой в направлении точки D, мы получим вторую точку сброса с дороги, которая указывает границу между группами В и С. Здесь плавное нарастание суммарного значения признака (группа В) сменяется крайне слабым нарастанием признака (группа С).

Пример с автомобилем иллюстрирует идею метода, суть которого можно пояснить, несколько упростив задачу. Представим кривую ABC в виде композиции дуг трех окружностей (рис. 32): дуга LM окружности О₁, дуга MN, окружности О₂, дуга NP окружности О₃. Наибольший радиус имеет окружность О₃. Радиус окружности О_р несколько короче. Существенно короче радиус окружности О₂, дуга которой MN находится в середине фигуры LMNP. Проведем касательную к кривой LMNP в ее начальной точке L и восстановим нормаль из точки касания в направлении центра окружности О₁. Длина нормали должна быть больше радиуса окружности О₂, но меньше радиусов окружностей О₁ и О₃ Начнем перемещать касательную из начала в конец кривой LMNP. Конец нормали при этом начертит фигуру lmnp. На участках lm и np конец нормали движется в одном направлении с касательной, а на участке тп - во встречном. Точки на кривой lmnp, в которых конец нормали меняет направление движения, соответствуют точкам изменения кривизны основной фигуры, т. е. фигуры LMNP.

Рис. 32. Пример построения петли АВС-анализа

Реальные кривые ABC состоят из элементарных участков, каждый из которых характеризуется определенной кривизной. Центры кривизны элементарных участков, как правило, не совпадают друг с другом, однако в областях А, В и С находятся сравнительно недалеко друг от друга, образуя так называемые облака центров кривизны.

Аналогично примеру с тремя окружностями проведем касательную к кривой ABC в ее начальной точке и восстановим нормаль, обращенную вправо от кривой. Длину нормали подберем так, чтобы она не доставала до множества центров кривизны, соответствующих начальному и конечному участкам графика, но в то же время выходила за пределы срединного облака центров кривизны. Продвинем касательную от начала кривой до конца графика ABC. Очевидно, что, пока касательная скользит по участку с большими значениями радиуса кривизны (начальная часть графика, группа А), конец нормали, находящийся между кривой и облаком центров кривизны, движется в направлении движения касательной, т. е. поднимается вверх. В момент входа касательной на срединный участок графика с малыми значениями радиуса кривизны направление движения конца нормали, оказавшегося за облаком центров кривизны, меняется на противоположное. Конец нормали начинает двигаться влево и вниз. Точка кривой, соответствующая моменту изменения направления движения конца нормали, указывает на границу между группами А и В. Движение конца нормали вниз и влево, т. е. в направлении противоположном движению касательной, продолжается до момента входа касательной на конечный спрямленный участок графика (примерно там "слетел" с дороги второй автомобиль). Здесь конец нормали, оказавшись между линией графика и центрами кривизны, вновь начинает двигаться в направлении движения касательной. Точка на кривой, в которой происходит повторное изменение направления движения конца нормали, указывает границу между группами В и С. Здесь заканчивается номенклатура, обеспечивающая плавный прирост оборота, и начинается номенклатура, в которой каждая из позиций дает крайне низкий прирост оборота, т.е. номенклатура группы С.

Окончательный вид фигуры, начерченной концом нормали к касательной, при скольжении последней по кривой ABC приведен на рис. 33.

Рис. 33. Разделение на группы А,В и С с помощью петли АВС-анализа

Алгоритм решения задачи с помощью средств Excel представлен в табл. 8.

Некоторую сложность представляет определение длины нормали к касательной. Как отмечалось выше, конец нормали должен лежать между облаками центров кривизны. Длина нормали задается в единицах шкалы ОХ (в процентах) и определяется путем нескольких итераций. Начать расчеты можно со значения 20, получив для этой длины нормали значения границ между группами. Затем следует последовательно, шаг за шагом, увеличивать длину нормали на 5-10 единиц. Вначале каждое приращение длины будет сопровождаться изменением значений границ (свидетельство того, что конец нормали при движении касательной пока находится в пределах срединного облака центров кривизны). В определенный момент, когда конец нормали выйдет из "срединной облачности", значения границ перестанут меняться с изменением длины нормали. Данные значения границ следует принять для дифференциации на группы А, В и С.

Таблица 8

Алгоритм решения задачи с помощью средств Excel

Столбец	Название столбца	Формула для расчета
А	Код продукта	Дано
В	Реализация за период	Дано
С	Доля продукта в общей реализации	Ci = Bi*100/CУММ B
D	Номер строки упорядоченного списка	Dl =1;D2 =D1 + 1 и т.д. до конца списка
Е	Количество строк нарастающим итогом в % к общему количеству строк	Ei = Di*100/Dмакс
F	Доля продукта нарастающим итогом	F1=C1 F2=F1+C2 и т.д.
G	Рабочий параметр	Gi=ATAN(El/Ci) делимое есть величина постоянная
Н	Абсцисса конца нормали	Hi = Ei + Ji*cos(Gi)
I	Ордината конца нормали	Ii=Fi- Ji*sin(Gi)
J	Длина нормали	J2=J1, J3=J2, и т.д. (Ji=Ji-1) J1 = натуральное число в пределах от 20 до 200
Точечная диаграмма строится по столбцам Н, I

Дальнейшее увеличение длины нормали, в конце концов, приведет к тому, что с каждой итерацией границы вновь начнут меняться. Происходит это в связи с погружением конца нормали в облака центров кривизны спрямленных участков начала и конца графика ABC, отстоящие относительно далеко от кривой. Иными словами, следует выбрать такую длину нормали к касательной, которая обеспечит относительную стабильность границ множеств А, В и С.

Применение описанного метода к разделению номенклатуры, распределение которой представлено графиком на рис. 31, позволило установить следующие границы групп:

	Доля в номенклатуре	Доля в потребности
группа А	9	84,4
группа В	13,8	12,6
группа С	77,2	3