11. Дискретні випадкові величини.

Означення 1. Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає з деякою імовірністю те чи інше значення.

Означення 2. Випадкові величини позначаються: x, y, z…

Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень кінцева.

Імовірність того, що випадкові величина Х приймає значення х, позначається

Означення 3. Відповідність між можливими значеннями випадкової величини Х і їх ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини Х.

Де

Біномінальний розподіл.

12. Числові характеристики випадкової Величини.

1. Математичне сподівання.

Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх її можливих значень на їх імовірність .

Властивості математичного сподівання:

1. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання.

2. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань.

3. Математичне сподівання постійної величини с дорівнює саме цій величині.

4. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань.

2. Дисперсія.

Основною числовою характеристикою степені розсіювання значень випадкової величини Х відносно її математичного сподівання являється дисперсією -

Означення. Відхиленням називається різниця між випадковою величиною Х і її математичним сподіванням , тобто . квадрат відхилення.

Відхилення та квадрат відхилення – це також випадкові величини.

Означення. Дисперсією дискретної випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата її відхилення.

Для обчислення дисперсії більш зручною являється формула

Властивості дисперсії:

1. ;

2. ;

3. , де Х і Y – незалежні випадкові величини.

4. Дисперсія появи події в незалежних випробуваннях

3. Середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь із дисперсії

4. Закон великих чисел.

Під законом великих чисел в теорії імовірності розуміється ряд теорем, в кожній із яких встановлюється факт наближення середніх характеристик великого числа дослідів до деяких постійних.

В основі цих теорем лежить нерівність Чебышева. Яке б не було додатнє число , імовірність того, що випадкова величина Х відхиляється від свого математичного спів падання не менше, ніж на , обмежена зверху числом

або

Нехай тоді Тобто

Правило «трьох сигментів». Теорема Чебышева.

Нехай маємо нескінченну послідовність незалежних випадкових величин з одним і тим же математичним спів паданням і дисперсією Д, тоді