6. Границя функції в точці і на нескінченності.

Число А називається границею функції в точці , якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , виконується нерівність . або .

Число А називається границею функції при , якщо для любого існує число , що при всіх .

Функція називається нескінченно малою, якщо .

Функція називається нескінченно великою, якщо .

Якщо - нескінченно мала, то нескінченно велика.

7. Теорема про границі.

Якщо функції і в точці мають границі, то:

1) Границя суми дорівнює сумі границь .

2) Границя добутку дорівнює добутку границь .

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак границі .

Наслідок 2. Границя степені дорівнює степені границь .

3) Границя частки дорівнює частці границі , при умові .

8. Неперервність функції в точці і на проміжку.

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці .

Умови неперервності функції в точці:

1. Границя функції в точці визначена.

2. Границя функції в точці існує.

3. Границя дорівнює значенню функції в цій точці.

Функція називається неперервною проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Властивості неперервних функцій:

1. Многочлен є функція неперервна на всій числовій осі.

2. Дробово – раціональна функція є функція неперервна на області визначення.

3. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті обмежена.

4. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті приймає найменше і найбільше значення.

5. Якщо функція непевна на сегменті і на його кінцях приймає значення різних знаків, то існує хоч би одна точка С на , в якій .

9. Застосування неперервності функції до наближених методів розв’язування рівнянь .

Метод половинного ділення.

Вважаємо, що графічним методом корені рівняння відокремлені і один із них (находиться на .

Задача полягає в тому, щоб обчислити корінь з заданою точністю . Для цього ділимо відрізок навпіл і обчислюємо значення функції в середині відрізка . Якщо то для подальших обчислень вибирається один із отриманих половинок, на кінцях якої приймає значення різних знаків. Повторюючи аналогічні обчислення, будемо все більш ближче наближатися до кореня рівняння . Процес обчислення триватиме доти, доки довжина відрізка буде менше . Тоді за величину кореня, як правило, вибирають середину відрізка.

10. Комплексні числа.

1. Розширення множин дійсних чисел.

Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1. Означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2. Для нових чисел повинні виконуватися п’ять законів прямих арифметичних лій;

3. У новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння , бо в цій множині має виконуватися дія обернена до піднесення до степеня.

Число і квадрат якого дорівнює 1, позначається буквою і і називається уявною одиницею.

Рівність приймається за означенням і не доводиться. До нової множини належать числа ві – уявні числа.

Означення.

Всі числа виду а + ві, де а і в дійсні числа, а і уявна одиниця, називаються комплексними числами. «Комплексний» - складений. Числа а + ві ототожнюються з дійсними числами, тобто попередній числовий «запас» входить до нової числової множини як її частина.

Умови рівності комплексних чисел і правила виконання прямих дій:

1. Два комплексних числа а + ві і с + dі рівні між собою тоді і тільки тоді, коли а = с; b = d.

Числа а + ві і а – ві називаються спряженими.

2. Сумою двох комплексних чисел а + ві і с +dі називається комплексне число (а + с) + (b + d)і.

Додавання комплексних чисел підлягає переставному і сполучному закону .

3. Добутком двох комплексних чисел а + ві і с +dі називається комплексне число (ас - bd) + (аd + bс) і.

4. Дія множення комплексних чисел підлягає переставному і сполучному закону.

2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Кожному комплексному числу а + ві відповідає точка координатної площини М(а;в).

Координатну площину називають комплексною віссю абсцис – дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Комплексне число можна інтерпретувати як вектор .

3. Тригонометрична форма запису комплексних чисел.

Модулем комплексного числа r називається довжина радіус – вектора, який відповідає комплексному числу. Аргументом комплексного числа називається кут нахилу радіус – вектора до додатнього напрямку вісі ОХ.

- тригонометрична форма запису комплексних чисел.

4. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

Якщо і , то:

1. .

2. .

3. – формула Мавра.

4. .

5. Показникові форма комплексного числа.

- формула Ейлера;

- показникові форма запису комплексного числа.

Якщо , а то:

1. .

2. .

3. .

4. .

6.Застосування комплексних чисел.

Так як комплексні числа геометричне зображаються векторами на площині, то всі векторні фізичні величини можуть бути охарактеризовані з допомогою комплексних чисел.

Наприклад, в електротехніці, при розрахунках електричних кіл.

Змінна напруга

Кутова частота при стандартній частоті 50 Гц являється постійним числом .

Ріняння напруги визначається двома параметрами U і φ, тобто йому можна поставити у відповідність комплексне число

; и – називається комплексна напруга.