3.4. Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Покажем, как можно найти условия устойчивости линейных (линеаризованных) систем автоматического управления.

Дифференциальное уравнение линейной системы автоматического управления, записанное для регулируемой входной величины x(t) при наличии управляющего воздействия g(t), имеет вид:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n)x(t) = (b₀p^m + b₁p^m-1 + … + b_m)g(t), (3.4.1)

где a₀, a₁, ..., a_n и b₀, b₁, ..., b_n - постоянные коэффициенты, а p = d/dt - оператор дифференцирования.

Изменение регулируемой величины x(t) при произвольном внешнем воздействии g(t) представляет собой решение уравнения (3.4.1)

x(t) = x_B(t) + x_CB(t). (3.4.2)

В (3.4.2) первое слагаемое x_B(t) - вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и первая часть уравнения (3.4.1). Она определяется как частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.4.1) с правой частью

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n)x_B(t) = (b₀p^m + b₁p^m-1 + … + b_m)g(t). (3.4.3)

Второе слагаемое x_CB(t) - свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения (3.4.1) без правой части:

(a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n)x_CB(t) = 0. (3.4.4)

Обычно в теории автоматического управления интересуются устойчивостью вынужденной составляющей x_B(t) переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса x_B(t). Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины x(t), а отклонением или вариацией будет свободная составляющая x_CB(t) = x(t)x_B(t).

Возмущениями, по Ляпунову, являются начальные значения x_CB, которые возникли в момент времени t = t₀ под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил, т. е. начальные значения x_CB0. Дифференциальными уравнениями возмущенного движения первого приближения в данном случае будут уравнения (3.4.4).

В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпунову система будет асимптотически устойчивой, если с течением времени при t свободная составляющая будет стремиться к нулю, т. е. x_CB(t)0. Чтобы найти эту составляющую, необходимо решить дифференциальное уравнение (3.4.4):

. (3.4.5)

Решение уравнения (3.4.5) находят как x_CB(t) = Се^t. Дифференцируя это уравнение n раз и подставляя в (3.4.5), после сокращения на общий множитель Се^t получаем:

a₀ⁿ + a₁^n-1 + … + a_n = 0 (3.4.6)

Полученное алгебраическое уравнение (3.4.6) называют характеристическим уравнением. Его корни ₁, ₂, …, _n будут определять характер переходного процесса в системе. По своему виду левая часть уравнения (3.4.6) совпадает с дифференциальным уравнением (3.4.1), поэтому характеристическое уравнение получают обычно, приравнивая к нулю дифференциальный оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении (3.4.1), т. е.

a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n = 0 (3.4.7)

Следует заметить, что в характеристическом уравнении (3.4.7) буква p =  означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число.

Решение характеристического уравнения степени n содержит n корней. Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференцированного уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно-сопряжёнными, мнимыми попарно-сопряжёнными, нулевыми. В общем случае

p_i = _I  j_i . (3.4.8)

Рисунок 3.3

На рис. 3.3 показаны возможные положения корней в комплексной плоскости корней p при p₁ = ₁; p₂ = ₂ + j₂; p₃ = ₂ - j₂; p₄ = 0; p₅ = -₅; p₆ = -₆ + j₆; p₇ = -₆ - j₆.

Если все корни разные, то их называют простыми. Если среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.

Обычно корни с отрицательными вещественными частями принято называть левыми, поскольку они в комплексной плоскости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с положительными вещественными частями - правыми корнями.

Условие устойчивости линейной системы формулируется следующим образом: для того чтобы линейная система была асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни её характеристического уравнения (3.4.7) были левыми.

Вычисление корней весьма просто лишь для характеристического уравнения первой и второй степени. Существуют общие выражения для корней уравнений третьей и четвёртой степени, но эти выражения громоздки и практически малопригодны. Что же касается уравнений более высоких степеней, то для них вообще невозможно написать общее выражение для корней через коэффициенты характеристического уравнения. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определить устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

С помощью критериев устойчивости можно не только установить, устойчива система или нет, но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные параметры и структурные изменения в системе.

Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраические и частотные. С математической точки зрения, все критерии устойчивости эквивалентны, однако целесообразный выбор того или иного критерия устойчивости при решении конкретных задач позволяет провести исследование устойчивости наиболее простым способом.