2.3. Формы записи линейных дифференциальных уравнений. Передаточные функции

При описании автоматических систем уравнения широко используют символьную форму записи линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение:

a_oy'' + a₁y' + a₂y = b_ou' + b₁u + c_of (2.3.1)

Введем для операции дифференцирования обозначение p, т. е.

d/dt  p , d ⁱ/dtⁱ  pⁱ.

Перепишем уравнение (2.3.1) в виде

a_op²y + a₁py + a₂y = b_opu + b₁u + c_of . (2.3.2)

При записи и преобразовании дифференциальных уравнений оператор (операцию дифференцирования ) р можно рассматривать как алгебраический сомножитель, а выражение py - как произведение, не обладающее свойством коммутативности: нельзя вместо py писать yp. Учитывая это, перепишем (2.3.2), вынеся y и u за скобки:

(a_op² + a₁p + a₂)y = (b_op + b₁)u + c_of. (2.3.3)

Введем обозначения Q(p) = a_op² + a₁p + a₂, R₁(p) = b_op + b₁, R₂(p) = c_o. С помощью этих обозначений уравнение (2.3.3) запишем в более компактной форме

Q(p)y = R₁(p)u + R₂(p)f. (2.3.4)

В уравнении (2.3.4) Q(p) (дифференциальный оператор при выходной величине) называют собственным оператором, а R₁(p) и R₂(p) (дифференциальные операторы при выходных величинах) - операторами воздействия.

Передаточные функции. Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией или передаточной функцией в операторной форме.

Звено, описываемое уравнением (2.3.1) или уравнениями (2.3.2) - ( 2.3.4), можно характеризовать двумя передаточными функциями: передаточной функцией W₁(p) по входной величине u, т. е.

(2.3.5)

и передаточной функцией W₂(p) по входной величине f, т. е.

(2.3.6)

Используя передаточные функции, уравнение (2.3.1) запишем в виде

y = W₁(p)u + W₂(p)f. (2.3.7)

Это уравнение представляет условную, более компактную форму записи исходного уравнения (2.3.1). Уравнения (2.3.3), (2.3.4) и (2.3.7) называют уравнениями в символической или операторной форме записи.

Используя запись дифференциальных уравнений в символической форме (2.3.3) или (2.3.4) и рассматривая формально собственный оператор и оператор воздействия как обычные алгебраические сомножители, передаточную функцию в операторной форме также определить как отношение выходной величины ко входной.

Наряду с передаточной функцией в операторной форме широко используют передаточную функцию в форме изображений Лапласа.

Передаточной функцией или передаточной функцией в форме изображений Лапласа называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Если звено (система) имеет несколько входов, то при определении передаточной функции относительно какой-либо одной входной величины остальные входные величины полагают равными нулю.

Передаточную функцию в форме изображения Лапласа можно получить из передаточной функции в операторной форме, если в последней сделать подстановку p = s. В общем случае это следует из того, что дифференцированию оригинала - символическому умножению оригинала на p - при нулевых начальных условиях соответствует умножение изображения на комплексное число s.

Сходство между передаточными функциями в форме изображения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее, и оно имеет место только в случае стационарных звеньев (систем). Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в (2.3.1) зависят от времени, то подстановка p = s неверна.

Стандартная форма записи линейных дифференциальных уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не выше второго порядка записывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие входную величину и её производные, записывают в левой части уравнения, а все остальные члены - в правой; коэффициент при входной величине делают равным единице. Если в правой части содержатся производные, то члены, содержащие какую-либо одну входную величину и её производные, объединяют в одну группу и коэффициент при соответствующей входной величине выносят за скобки.

Уравнение (2.3.1) в стандартной форме примет вид

T₀²y'' + T₁y' + y = k₁(T₂u' + u) + k₂f, (2.3.8)

где T₀² = a₀/a₂, T₁ = a₁/a₂, k₁ = b₁/a₂, T₂ = b₀b₁, k₂ = c₀/a₂.

В уравнении (2.3.8) постоянные T₀ ,T₁ и T₂ имеют размерность времени и их называют постоянными времени, а коэффициенты k₁ и k₂ - передаточными коэффициентами. Если исходное уравнение (2.3.1) не содержит y(a₂ = 0), то в стандартной форме коэффициент при производной y' должен быть равен единице: обе части уравнения делят на коэффициент а₁.

В символической форме уравнение (2.3.8) примет вид

(T₀²p₂ + T¹p + 1)y = k₁(T²p + 1)u + k₂f. (2.3.9)