2.1. Уравнения динамики и статики. Линеаризация

В общем случае звенья и системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями произвольного порядка. Под звеном понимается математическая модель элемента. Для примера рассмотрим звено на рис. 2.1, которое можно описать дифференциальным уравнением второго порядка

(2.1.1)

Рисунок 2.1

где y - выходная величина, u и f - входные величины, у с точкой и u с точкой - первые производные по времени, у с двумя точками - вторая производная по времени.

Уравнение (2.1.1), описывающее процессы в звене при произвольных входных воздействиях, называют уравнением динамики. Пусть при постоянных входных величинах u = u^o и f = f^o процесс в звене с течением времени установится: выходная величина примет постоянное значение y = y^o. Тогда (2.1.1) примет вид

F(y^о,0,0,u^o,0) + f^o = 0 (2.1.2)

Это уравнение описывает статический или установившийся режим и его называют уравнением статики.

Статический режим можно описать графически с помощью статических характеристик. Статической характеристикой звена или элемента (а также системы) называют зависимость выходной величины от входной в статическом режиме. Статическую характеристику можно построить экспериментально, подавая на вход элемента постоянное воздействие и измеряя выходную величину после окончания переходного процесса, или расчётным путём, используя уравнения статики.

Если звено имеет несколько входов, то оно описывается с помощью семейства или семейств статических характеристик. Например, звено, характеризующееся в статическом режиме уравнением (2.1.2) можно описать графически с помощью семейства статических характеристик, представляющих собой кривые зависимости выходной величины y от одной входной величины u (или f ) при различных фиксированных значениях другой - f (или u).

Линеаризация. Обычно автоматические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во многих случаях можно их линеаризировать, то есть заменить исходные нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системе. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называют линеаризацией.

В автоматических системах должен поддерживаться некоторый заданный режим. При этом режиме входные и выходные величины звеньев системы изменяются по определенному закону. В частности, в системах стабилизации они принимают определенные постоянные значения. Но из-за различных возмущающих факторов фактический режим отличается от требуемого, поэтому текущие значения входных и выходных величин не равны значениям, соответствующим заданному режиму. В нормально функционирующей автоматической системе фактический режим немного отличается от требуемого режима, и отклонение входных и выходных величин входящих в нее звеньев от требуемых значений малы. И это позволяет произвести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, входящие в управления, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно производить по звеньям.

Звенья и системы, которые описываются линейными уравнениями, называют линейными - соответственно линейными звеньями и линейными системами.

Линеаризацию проводят при условиях: а) отклонения выходной и входной величины достаточно малы, причем нельзя раз и навсегда установить, какие отклонения считать малыми. Это зависит от вида нелинейности. б) функция F обладает непрерывными частными производными по всем своим аргументам в окрестности точек, соответствующих данному режиму.

Часто нелинейную зависимость между отдельными переменными входящие в уравнение звена, задают в виде кривой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графически. Геометрически линеаризация нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.2) означает замену исходной кривой АВ отрезком её касательной А'B' в точке O',

Рисунок 2.2

соответствующей заданному режиму и параллельному переносу начала координат в эту точку.