Численная оценка полиномов Чебышева

T_n(x) = 2xT_n-1(x) – T_n-2(x)

T₀ = 1; T = x

y = ln(1+x) - (4.3)

Можно оценить (4.3) первой оценкой численного значения для 4 полиномов Чебышева: (пусть x = 0.3)

T₀ = 1; T = 0.3

T₂ = (2)(0.3)T₁ – T₀ = 2·0.3·0.3-1 = -0.82

T₃ = (2)(0.3)T₂ – T₁ = -2·0.3·0.82 – 0.3 = 0.792

y = ln(1.3)

y = ln(1.3) = 0.26236426

Экономизируем разложение ряда Маклорена:

e^x = 1 + x +

1 = T₀

x = T₁

x ²=

x ³=

x ⁴=

x ⁵=

x ⁶=

e ^x= +…

e ^x= 1.2661T₀ + 1.1302T₁ + 0.2715T₂ + 0.0443T₃ + …

e ^x= 1.2661 + 1.1302x + 0.2715(2x² - 1) + 0.0444(4x ³– 3x) + …

e ^x 0.9946 + 0.9974x + 0.5430x² + 0.1771x³ + …

Sin x = x -

Sin x = T₁ -

Sin x =

x⁵ изменяет коэффициент T₁< на 1%, x⁷ - <0.01%

Sin x =

T₁ = x; T₃ = 4x³ – 3x;

Sin x = 0.9974x – 0.1562x ³= x(0.9974 – 0.1562x²)

Рис.4.1

5. Решение систем линейниых (слау) и нелинейных уравнений (снау)

5.1. Метод Ньютона - Рафсона для систем нелинейных уравнений

Будем искать решение системы нелинейных уравнений

.

Считая заданными начальные приближения корней (x₀, y₀), будем искать поправки к ним h и k:

или в общем виде .

Таким образом, имеем систему:

Раскладывая функции в ряд Тейлора, имеем:

Уравнения системы содержат члены более высокого порядка малости, чем h и k. Пренебрегая ими, получим систему относительно h1 и k1:

Отсюда

Тогда и так далее.

Пример. Найти корни системы уравнений:

Пусть

Тогда

Получаем

и так далее.

5.2. Метод итерациЙ для систем нелинейных уравнений

Пусть дана система уравнений с двумя неизвестными:

.

Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами:

Если функции F (x, y) и Ф (x, y) непрерывны и последовательности и сходятся, то пределы их являются корнями системы.

Исследуем сходимость. Пусть — истинные значения корней системы и известно, что и в прямоугольнике x = a, x = b, y = c, y = d других корней нет. Тогда, если в этом прямоугольнике выполняются неравенства:

.

Где , то итерационный процесс сходится, причём в качестве нулевого приближения можно брать любую точку прямоугольника.

Пример.

Рассмотрим точку x₀ = 3,4; y₀ = 2,2

Приведём систему (различными путями) к виду:

Для — процесс сходится. Определим x из 2-го уравнения; y — из 1-го:

;

За область изоляции корня можно принять прямоугольник 3 < x < 4; 2 < y < 2,5

процесс сходится, но так как - близко к единице, то скорость сходимости будет небольшой:

5.3. Системы линейных уравнений Метод Простой итерации

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными

Перепишем систему уравнений в виде:

Обозначим правую часть i-го уравнения через . Без потери общности не обращаем внимание на то, что в правой части i-го уравнения x_i не содержится. Тогда:

Зададимся начальными приближениями корней системы Тогда:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все не станут достаточно близки к , где i = 1, 2, 3, …, n, то есть:

Лучше сравнивать с E относительные разности:

Исследуем сходимость. Пусть , где x_i — истинное значение i-го корня. Так как x_i — истинное значение корня, то:

Кроме того:

Иначе:

Обозначим наибольшее из через . Тогда

.

Если взять: то . Так как это справедливо при любых k, то:

Откуда . Если A < 1, то или при . Таким образом, условие сходимости , то есть диагональные элементы системы удовлетворяют условию . Пример:

Выбор начальных приближений не влияет на условия сходимости, поэтому чаще всего полагают .