Введение

Настоящее учебное пособие является учебно-методическим комплексом по дисциплине «Вычислительная математика» предназначенного для студентов направления «Информатика и вычислительная техника» и специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

При изучении дисциплины «Вычислительная математика» следует особое внимание уделить методам приближенных вычислений, изложенным в программе, усвоить их в процессе решения конкретных задач, уметь оценивать результаты расчетов, проводить вычисления с помощью простейших технических средств, научиться проводить сравнительный анализ эффективности различных методов в приложении к решению конкретной задачи, приобрести навыки выбора наиболее рационального метода решения задачи и реализации выбранного метода с доведением до формулы, графика, числа и т.д., ознакомиться с математической постановкой и методами решения широкого круга вопросов и задач, научиться работать со справочной литературой. Студент должен приобрести твердые навыки: «прикидки» точности данных, исходя из требуемой точности результата; «прикидки» объема вычислительных работ и выбора средств вычислений; организации вычислений.

Государственный стандарт направления «Информатика и вычислительная техника» и специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» предусматривает при изучении дисциплины «Вычислительная математика» следующее

Индекс	Наименование дисциплин и их основные разделы	Всего часов
ЕНФ015	Вычислительная математика: особенности математических вычислений, реализуемых на ЭВМ: теоретические основы численных методов: погрешности вычислений; устойчивость и сложность алгоритма (по памяти, по времени); численные методы линейной алгебры; решение нелинейных уравнений и систем; интерполяция функций; численное интегрирование и дифференцирование; решение обыкновенных дифференциальных уравнений; методы приближения и аппроксимации функций; преобразование Фурье; равномерное приближение функций; математические программные системы.	140

Рабочая программа

1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе.

1.1. Целью преподавания дисциплины «Вычислительная математика» для студентов направления «Информатика и вычислительная техника» специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» является изучение вычислительных методов, а также приобретение практических навыков программной реализации методов вычислительной математики и использования стандартных пакетов математических программ: MatLab и MathCAD.

1.2 Задачи преподавания дисциплины.

Задачи преподавания дисциплины формируются на основе требований квалификационной характеристики инженера-программиста, в соответствии с которыми студент должен:

-уметь выбрать метод решения математической задачи,

-уметь разработать (выборочно) программную реализацию распространенных методов вычислительной математики,

-уметь оценивать погрешность используемого метода и производимых вычислений,

-уметь применять стандартные математические пакеты программ для решения поставленной задачи.

1.3 Структурно – логическая связь с другими дисциплинами.

Так как дисциплина «Вычислительная математика» изучает методы и технологии решения математических задач, а так же вопросы программной реализации методов вычислений, то она является универсальной основой решения задач, связанных с моделированием и исследованием различных процессов и систем.

Перечень дисциплин с указанием разделов, усвоение, которых студентами необходимо для изучения дисциплины «Вычислительная математика».

Математика: теория функций действительного переменного, интерполирование функций, интегрирование функций, нелинейные алгебраические и трансцендентные уравнения, линейная алгебра, ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения.

2. Требования к знаниям и умениям студентов по дисциплине.

Студент должен знать: основы математического анализа, теорию вероятностей и математической статистики, методы объектно-ориентированного программирования, офисные технологии.

Студент должен уметь: включать компьютер, применять теоретические знания.

3. Распределение трудоемкости (час.) дисциплины по темам и видам занятий.

№ модуля	№ недели	№ темы	Наименование темы	Часы
				Всего	Лекции	л. з.	пр.з.	СРС
1	2	3	4	4	5	6	7	8
I	1, 2	1	Теория и методы приближения функций.	16	8	4	0	4
	3, 4	2	Ортогональные функции. Общие свойства ортогональных функций. Неравенство Бесселя и полнота. Ортогональные многочлены.	16	8	4	0	4
II	5, 6	3	Полиномы Чебышёва. Критерий Чебышёва.	16	8	4	0	4
	7, 8	4	Численное интегрирование.	16	8	4	0	4
III	9,10	5	Метод интегрирования Ромберга.	14	8	2	0	4
	11	6	Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.	12	4	4	0	4
	12	7	Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений – СЛАУ.	4	2	2
	12	8	Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений – СНАУ.	4	2	2
IV	13,14	9	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.	16	8	4	0	4
	15,16	10	Применение системы MATLAB в задачах вычислительной математики.	26	8	4	0	10
		Итого		140	64	34	0	38

4. Содержание лекционного курса

№ темы	Всего часов	№ лекции	Тема лекции. Вопросы, отрабатываемые на лекции

1	2		3
1	2		Алгебраическое интерполирование. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Вычислительная схема Эйткена.
1	2		Определение явного вида интерполяционного многочлена. Определитель Вандермонда. Программная реализация методов алгебраического интерполирования в системе Visual Basic for Application (VBA)для Excel.
2	2		Классические ортогональные многочлены. Метод наименьших квадратов. Проведение подходящего многочлена. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье. Практика метода наименьших квадратов в системе VBA
2	2		Экономизация рядов по Чебышёву. Гнездовые скобочные выражения и их использование для вычислений. Численные оценки экономизированной аппроксимации Чебышёва.
3	2		Численное интегрирование. Квадратурные формулы, порожденные интерполяционными формулами. Формула трапеций.
3	2		Формула Симпсона (парабол). Остаточный член – оценка погрешности квадратурной формулы.
1	2		3
4	2		Квадратурные формулы Бодэ, Уэддля, Ньютона-Котеса.
4	2		Квадратурные формулы на основе неравноотстоящих узлов. Формулы Гаусса, Чебышёва.
4	2		Реккурентное соотношение Ромберга.
5	2		Программная реализация методов численного интегрирования.
5	2		Метод простых итераций. Условие сходимости. Усовершенствованный метод последовательных приближений – модификация Вегстейна (1958г.).
6	2		Метод Ньютона-Рафсона. Методы: деления отрезка пополам, модифицированный метод Ньютона-Рафсона, хорд, секущих, комбинированный метод хорд-секущих.
6	2		Случай почти равных корней – метод Мейкона. Программная реализация методов в среде VBA.
7	2		Вычисление определителей. Метод Крамера для СЛАУ.
7	2		Метод Гаусса для СЛАУ.
8	2		Метод итераций для СЛАУ. Условие сходимости. Метод Зейделя СЛАУ.
8	2		Метод итераций для СНАУ. Условие сходимости. Метод Ньютона-Рафсона для СНАУ.
9	2		Природа и смысл дифференциальных уравнений. Поле направлений. Численное решение. Устойчивость метода простого прогноза. Устойчивость коррекции.
9	2		Системы дифференциальных уравнений.
	2		Методы Рунге-Кутта. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка
9	2		Метод Эйлера. Исправленный метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера.
9	2		Метод Адамса. Комбинированные методы. Выбор шага интегрирования и оценка точности.
9	2		Программная реализация методов Рунге-Кутта в среде VBA.
10	2		Основные сведения о системе MatLab. Установка системы на компьютер.
1	2		3
10	2		Работа в режиме прямых вычислений
10	2		Матричные операции и функции.
10	2		Обычные и специальные функции
10	2		Обработка данных.
10	2		Операции с многочленами.
10	2		Операции с функциями пользователя.
10	2		Обзор и использование внешних расширений системы
10	2		Основы программирования в среде MatLab.
10	2		Работа с графическими средствами.
10	2		Спектральный анализ и задачи фильтрации.

5. Перечень тем практических занятий - отсутствуют

6. Перечень лабораторных работ

№ темы	Всего часов	№ работы	Наименование лабораторной работы
1	2	3	4
1	2	1	Интерфейс MATHLAB
1	2	2	Интерфейс EXCEL
1	2	3	Среда VBA в EXCEL
2	4	4	Метод наименьших квадратов
3	4	5	Интерполирование функций по Лагранжу. Вычислительная схема Эйткена
4	4	6	Численное интегрирование
5	4	7	Метод простых итераций. Метод Ньютона-Рафсона.
6	4	8	Матричные операции. Методы решения СЛАУ СНАУ. Регрессионный анализ.
7	4	9	Методы Рунге-Кутта.
8	2	10	Численные методы и графические средства MatLab
8	2	11	Спектральный анализ в MatLab. Алгоритмы и функции преобразований Фурье (ДПФ БПФ).

7. Задания для самостоятельной работы студентов

№ темы	Всего часов	Вопросы для самостоятельного изучения	Литература
1	2	3	4
6	5	Методы решения СЛАУ и СНАУ, матричные операции.	1-12
4,5	5	Методы интегрирования: трапеций, Симпсона, Гаусса, Ромберга.	1-12
4,5	5	Вычисление определенных интегралов. Программные средства.	1-12
9	5	Модифицированный метод Эйлера, метод Рунге-Кутта 4-го порядка, метод Гира для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), Методы прогноза и коррекции для ОДУ.	1-12
9	5	Фурье-анализ, быстрое преобразование Фурье (БПФ), одномерный, двумерный анализ Фурье.	1-12
3	5	Полиномы Чебышёва, Экономизация степенных рядов.	1-12
10	8	Графика MatLab: высокоуровневая, дескрипторная, специальная, анимационная, трехмерная.	9, 18, 19, 28

8. Курсовой проект - не предусмотрен.

9. Курсовая работа - не предусмотрена.

10. Расчетно-графическая работа - не предусмотрена.

11. Контрольная работа - не предусмотрена.

12. Экзаменационные вопросы.

1а) Метод наименьших квадратов (линейная регрессия).

1б). Полиномиальная аппроксимация по МНК.

2а) Интерполирование по Лагранжу и схема Эйткена.

2б). Интерполирование функций.

3а). Методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений: простых итераций,

4. Метод дихотомии решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

5. Метод Ньютона-Рафсона решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

6. Модифицированный метод Ньютона решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

7. Метод Мейкона (случай почти равных корней) решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

8а). Метод итераций решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

9. Метод Гаусса решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

10. Метод Зейделя решения систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

11. Метод Ньютона-Рафсона для систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений (СЛАУ и СНАУ).

12а). Методы численного интегрирования.

13. Методы трапеций.

14. Метод Симпсона.

15. Метод Гаусса.

16. Метод Ромберга.

17а). Методы решения дифференциальных уравнений.

18. Модифицированный метод Эйлера.

19. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

20*. Метод Гира для обыкновенных дифференциальных уравнений.

б) Методы прогноза и коррекции для ОДУ.

21а). Фурье-анализ

22. Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

23б*). Одномерный, двумерный анализ Фурье.

24а*). Полиномы Чебышёва

24б*). Экономизация степенных рядов.

25. Графика MatLab: высокоуровневая, дескрипторная, специальная, анимационная, трехмерная.

Примечание.

1. Пункт б) - вопрос отнесен к системе MatLab.

2. Со звездочкой – по возможности и желанию студента.

3. Студент должен уметь реализовать тот или иной численный метод или алгоритм в среде VBA MS Office и в системе MatLab.

13. Основная и дополнительная литература.

Основная:

1. Крылов В.И., Бобков В,В., Монастырский П,И. Вычислительные методы математики, Т.1.-М.- Наука, 1976.

2. Гутер Р.С., Резынковский П.Т. Программирование и вычислительная математика. – М.: Наука, 1971.-262 с.

3. Хемминг Р.В. Численные методы (для научных работников и инженеров).-М.: Наука, 1968.

4. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. – М.: Мир, 1977.-584 с.

5. Иванова Т.П., Пухова Г.В. Программирование и вычислительная математика.- М.: Просвещение, 1978.-320 с.

6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.- М.: Наука, 1966, Т.1-2.

7. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1960.

8. Потемкин В.Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х. - М.:Диалог-Мифи, 1999. – 670с.

9. Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB..: ИД "Вильямс",2001. - 720с.

10. Глейзер В.В., Клинаев Ю.В. Вычислительная математика. Алгебраическое интерполирование. Метод. указ к лаб. раб. Для студентов спец. 0517 и 0501 Саратов : Изд-во СПИ , 1990.(0,75 п.л.,14с.)

11. Глейзер В.В., Клинаев Ю.В. Вычислительная математика. Регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов. Метод. указ к лаб. раб. Для студентов спец. 0517 и 0501 Саратов : Изд-во СПИ , 1990.(1,00 п.л.,18с.)

12. Глейзер В.В., Клинаев Ю.В. Исследование операций: задача линейного программирования. Метод. указ к выполн. лаб. раб. по курсу «Вычислительная математика и основы программирования» для студентов всех спец. Саратов : Изд-во СПИ , 1991.(1,75 п.л.,28с.)

13. Клинаев Ю.В., Шатурная О.С. Приближенное решение нелинейных уравнений и СЛАУ. Метод. реком. к лаб. работам по дисциплинне “Вычислительная математика”, Саратов: Изд-во СГТУ, 2003. (24с.)

14. Клинаев Ю.В., Шатурная О.С. Численное интегрирование. Метод .указ к лаб.раб. по дисциплине “Вычислительная математика” Саратов : Изд-во СГТУ , 2003.(1,25 п.л.,20с.)

15. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. - М.: Нолидж, 2001. - 1296с.

16. Уэллс Э., Харшбаргер С. Microsoft Excel 97. Библиотека разработчика: Пер. с англ. – М.: Изд. отдел «Русская редакция» ТОО «Channel Trading Ltd», 1998. – 536 с.

17. Гарнаев А. Самоучитель VBA. – СПб.: БХВ – Санкт-Петербург, 1999. – 512 с.

18. Король В.И. Visual Basic 6.0, Visual Basic for Applications 6.0.Язык программирования. Справочник с примерами. – М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000. – 448 с.

19. Григорий Титаренко. Visual Basic 6.0: – К.: Изд. группа BHV, 2001.– 416 с.

20. Гетц К., Джилберт М. Программирование в Microsoft Office. Полное руководство по VBA: Пер. с англ. – К.: Изд. группа BHV, 2000. - 768 с.

21. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В., Круглов В.В. MatLab 5 с пакетами расширений./ Под ред. В.П. Дьяконова. – М.: Нолидж, 2001. – 880 с.

22. Лазарев Ю.Ф. MatLab 5.х – К.: Изд. группа BHV, 2000. – 384 с.

23. Гайдышев И. Анализ и обработка данных. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 752с.

Дополнительная

24. Клинаев Ю.В. Компьютерные моделирование в средах програмирования VBA и MatLab / Ю.В. Клинаев, А.М. Кац, М.Д.Элькин: Учеб. пособие. – Саратов:Сарат. Гос. техн. ун-т, 2002-98с..

25. Клинаев Ю.В. Технологии VBA и MatLab в базовом курсе “ Вычислительная математика» / Ю.В.Клинаев , А.М.Кац, Ю.В. Ставский // Материалы Междунар . конф. “Информационные технологии в образовании “ . ИТО-2002 , Москва, 4-9 ноября 2002г.- С.11-13.

26. Клинаев Ю.В., Терин Д.В., Шатурная О.С. Научно-методический аспект применения технологий VBA и математических систем (на примере VBA-приложения «Многомерные L - числа» для стохастических методов оптимизации). ИТО- 2003» – ХIII Межд. конф.–выставка «Информационные технологии в образовании»: Сб.трудов уч. конф. Часть IV.– М.: Просвещение, 2003.–с.60-61.

27. Клинаев Ю.В., Мурашев Д.А. Аналитическое решение краевой задачи расчёта электростатических полей в межэлектродном зазоре биполярного электрода. Сб. «Современные научные и информационные технологии», СГТУ, 21 октября 2003г.,С.56-59.

28. Волчёнков Н.Г. Учимся программировать: Visual Basic 5.Учебное пособие. – М.:"Диалог-МИФИ",1998. - 368 с.

29. Стивенс Р. Visual Basic. Готовые алгоритмы. - М.: ДМК Пресс, 2000. - 384с.

30. Худсон Д. Статистика для физиков. - М.:Мир, 1967. - 240с.

31. Рудаков П.И., Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений. MATLAB 5.X. - М.: Диалог-МИФИ,2000. - 416с.

14. Перечень технических средств обучения

Лабораторные работы предусмотрены в дисплейном компьютерном классе. Студент должен быть обеспечен индивидуальным рабочим местом, общей площадью не менее 6 м² оборудованным средствами вычислительной техники с установленным программным обеспечением: операционной системой Windows, VBA MS Office, MatLab и MatCad (или их аналогами), включенным в локальную сеть университета и свободным выходом в Интернет.