Вопросы для самопроверки

1. Может ли метод Лагранжа применяться для экстраполяции?

2. Можно ли располагать узля интерполяции произвольно прииспользовании метода Лагранжа?

3. Можно ли добавлять новые узлы интерполяции при использовании метода Лагранжа?

4. Сформулируйте постановку задачи приближения функции по методу лагранжевой интерполяции.

5. Сформулируйте условие единственности решения задачи интерполяции.

3.Метод наименьших квадратов

3.1.Постановка задачи и способ решения

Техника численного анализа в науке и инженерном деле часто применяется для построения графиков экспериментальных данных. Как правило, экспериментально изучаемая зависимость записывается в виде некоторой табулированной функции . То есть в процессе измерений величины при различных значениях аргумента строят таблицу соответствия (табл. 3.1):

Таблица 3.1

			…		…
			…		…

или же наносят масштабированные значения ординат в виде отдельных точек на плоскости :

Рис. 3.1

Так как экспериментальные данные в силу различных причин содержат в значениях функции случайную ошибку (погрешности измерений различного рода), то уже само по себе соответствие между и , заданное обоими указанными способами, не может быть точным. А это приводит к выводу, что если в процессе получения решения нашей задачи (нахождения зависимости ) требует найти значения для промежуточных (не внесенных в табл. 1) значений аргумента , или же получить аналитическую формулу на некотором интервале , то, вообще говоря, нецелесообразно прибегать к интерполированию, так как оно очевидным образом выходит за пределы точности в сопоставлении приближающей и приближаемой функции в каких-либо точках. По-видимому, в данном случае вполне достаточно построить такую приближающую функцию, которая описывала бы изучаемую зависимость в некотором среднем(интуитивно понятном) смысле.

Практика показывает, что приближающие (аппроксимирующие) функции, построенные по методу среднеквадратичного приближения, весьма достоверно (в указанном смысле) представляют реальную функцию , выигрывая в скорости вычислительного процесса по сравнению с интерполяционным многочленом.

В данной лабораторной работе рассматривается один из наиболее употребительных способов решения подобной задачи – аппроксимация функции по методу наименьших квадратов.

Решаемая задача может быть поставлена двояко:

1. функциональная зависимость известна заранее из каких-то теоретических соображений. В этом случае по результатам эксперимента требуется определить только некоторые числовые параметры, входящие в теоретическую формулу.

Например, известно, что величина пропорциональна некоторой степени аргумента , то есть теоретическая формула имеет вид:

,

(3.1)

и требуется определить только два параметра: коэффициент пропорциональности и показатель степени .

Для определения двух неизвестных и достаточно, вообще говоря, двух измерений, в результате которых мы сможем построить систему двух уравнений с двумя нашими неизвестными. Однако из-за погрешностей опыта каждая пара экспериментальных значений будет давать свои, несколько отличающиеся друг от друга, коэффициенты и . Необходимо, таким образом, свести к минимуму заложенную в эксперименте случайную погрешность, повторяя измерения многократно и подбирая числовые параметры так, чтобы перепад значений теоретической функции (в данном случае ) от табл. 3.1 был минимальным по всей совокупности полученных в опыте точек.

2. функциональная зависимость не известна или достаточно сложна. В этом случае, изучив на графике (рис.3.1) расположение экспериментальных точек, предлагают по возможности простую зависимость:

,

(3.2)

такую, что расстояния экспериментальных точек от точек кривой (3.2) при соответствующих аргументах были в совокупности малы. Гипотетическая зависимость (3.2) и называется приближающей функцией или аппроксимацией.

Например, точки на рис. 3.1 в целом мало отличаются от соответствующих точек некоторой параболы. Поэтому разумно выбрать приближающую функцию (3.2) в виде параболы:

,

(3.3)

подобрав коэффициенты , , так, чтобы суммарная погрешность при замене табличных значений параболической аппроксимацией была минимальной.